Решение показательных неравенств (страница 4)

Сделаем замену \(3^x=t\), тогда неравенство сведется к рациональному: \[\dfrac{t-1}{t-3}\leqslant 1+\dfrac 1{t-2}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)(t-2)-(t-3)(t-2)-(t-3)}{(t-3)(t-2)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t-1}{(t-3)(t-2)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;1]\cup(2;3)\] Сделаем обратную замену:
1) \(3^x\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad x\leqslant 0\)   2) \(2<3^x<3\quad\Leftrightarrow\quad \log_32<x<1\).
Таким образом, ответ: \[x\in (-\infty;0]\cup(\log_32;1)\]

Сделаем замену \(3^x=t\), так как \(9^x=(3^x)^2=t^2\), то неравенство сведется к рациональному: \[\dfrac{13-5t}{t^2-12t+27}\geqslant \dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-t^2+2t-1}{2(t^2-12t+27)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)^2}{t^2-12t+27}\leqslant 0\] Так как \(t^2-12t+27=(t-3)(t-9)\), то \[\dfrac{(t-1)^2}{(t-3)(t-9)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in \{1\}\cup(3;9)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x=1\\[1ex] &3<3^x<9\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\[1ex] &1<x<2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Сделаем замену \(7^x=t\), тогда неравенство сведется к рациональному: \[\dfrac 2{t-7}\geqslant \dfrac 5{t-4}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t-4)-5(t-7)}{(t-7)(t-4)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-3t+27}{(t-7)(t-4)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t-9}{(t-7)(t-4)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;4)\cup(7;9]\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &7^x<4\\[1ex] &7<7^x\leqslant 9 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x<\log_74\\[1ex] &1<x\leqslant \log_79 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Так как \(5^{x+1}=5^x\cdot 5^1=5\cdot 5^x\), то с помощью замены \(5^x=t\) неравенство можно свести к рациональному: \[\dfrac1{t+31}\leqslant \dfrac4{5t-1}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{5t-1-4(t+31)}{(t+31)(5t-1)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t-125}{(t+31)(5t-1)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;-31)\cup\left(\dfrac15; 125\right]\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &5^x<-31\\[1ex] &\dfrac15<5^x\leqslant 125 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in \varnothing, \quad ({\small{\text{так как }}} 5^x>0 \ {\small{\text{при любом }}} x)\\[1ex] &-1<x\leqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Так как \(4^x=(2^x)^2\), то с помощью замены \(2^x=t\) данное неравенство можно свести к рациональному: \[t-6-\dfrac{9t-37}{t^2-7t+12}\leqslant \dfrac 1{t-4}\quad\Leftrightarrow\quad t-6\leqslant \dfrac{(t-3)+(9t-37)}{(t-3)(t-4)}\quad\Leftrightarrow\quad t-6\leqslant \dfrac{10(t-4)}{(t-3)(t-4)}\] (так как \(t^2-7t+12=(t-3)(t-4)\))
Данное неравенство можно преобразовать к виду: \[\dfrac{(t-6)(t-3)(t-4)-10(t-4)}{(t-3)(t-4)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-4)(t^2-9t+8)}{(t-3)(t-4)}\leqslant0\] Так как \(t^2-9t+8=(t-1)(t-8)\), то неравенство равносильно: \[\dfrac{(t-4)(t-1)(t-8)}{(t-3)(t-4)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;1]\cup(3;4)\cup(4;8]\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x\leqslant 1\\[1ex] &3<2^x<4\\[1ex] &4<2^x\leqslant 8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 0\\[1ex] &\log_23<x<2\\[1ex] &2<x\leqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Так как \(4^x=(2^x)^2\), \(2^{x+3}=2^x\cdot 2^3\), то заменой \(2^x=t\) неравенство сведется к рациональному: \[\dfrac {t^2-8t+7}{t^2-5t+4}\leqslant \dfrac{t-9}{t-4}+\dfrac1{t-6}\] \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\), следовательно: \[\dfrac{t^2-8t+7-(t-9)(t-1)}{(t-1)(t-4)}\leqslant \dfrac1{t-6} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t-1)}{(t-1)(t-4)}\leqslant \dfrac 1{t-6} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac 2{t-4}\leqslant \dfrac 1{t-6}\\[2ex] t-1\ne 0\end{cases}\] Рассмотрим первое неравенство системы: \[\dfrac 2{t-4}\leqslant \dfrac 1{t-6}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t-8}{(t-4)(t-6)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \(t\in (-\infty;4)\cup(6;8]\).
Так как \(t-1\ne 0\), то есть \(t\ne 1\), то \[t\in (-\infty;1)\cup(1;4)\cup(6;8]\] Вернемся к прежней переменной: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x< 1\\[1ex] &1<2^x<4\\[1ex] &6<2^x\leqslant 8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x< 0\\[1ex] &0<x<2\\[1ex] &\log_26<x\leqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Так как \(9^x=(3^x)^2\) и \(3^{x+1}=3\cdot 3^x\), то неравенство после замены \(t=3^x\) примет вид рационального неравенства: \[\dfrac{t^2-6t+4}{t-5}+\dfrac{6t-51}{t-9}\leqslant t+5\quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{(t^2-6t+4)(t-9)+(6t-51)(t-5)-(t+5)(t-5)(t-9)}{(t-5)(t-9)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t-6}{(t-5)(t-9)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \(t\in (-\infty;3]\cup(5;9)\).
Вернемся к прежней переменной: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x\leqslant 3\\[1ex] &5<3^x<9 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 1\\[1ex] &\log_35<x<2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]