Решение показательных неравенств (страница 5)

Так как \(9^x=(3^x)^2\) и \(3^{x+1}=3\cdot 3^x\), то неравенство после замены \(t=3^x\) примет вид рационального неравенства: \[\dfrac{t^2-t+2}{t^2-t}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant \dfrac{6t-2}{t} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-t+2-(6t-2)(t-1)}{t(t-1)}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-t(5t-7)}{t(t-1)}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0\] Данное неравенство равносильно системе: \[\begin{cases} \dfrac{-(5t-7)}{t-1}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0\\[2ex] t\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{3t-9}{(t-4)(t-1)}\leqslant 0\\[2ex] t\ne 0\end{cases}\] Решим первое неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \(t\in(-\infty;1)\cup[3;4)\).
Учитывая, что \(t\ne 0\), сделаем обратную замену: \[\begin{cases} 3^x\ne 0\\[1ex] \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x<1\\[2ex] &3\leqslant 3^x<4\end{aligned} \end{gathered}\right. \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\in \mathbb{R}\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x<0\\[2ex] &1\leqslant x<\log_34\end{aligned} \end{gathered}\right.\end{cases}\] (так как \(3^x>0\) при всех \(x\), как показательная функция, следовательно, \(3^x\ne 0\) при всех \(x\))

Так как \(4^x=(2^x)^2\), то сделаем замену \(t=2^x, t>0\), тогда неравенство примет вид рационального: \[\dfrac t{t-3}+\dfrac{t+1}{t-2}+\dfrac 5{t^2-5t+6}\leqslant 0\] Выражение \(t^2-5t+6=(t-3)(t-2)\), следовательно, после приведения всех слагаемых к общему знаменателю неравенство будет иметь вид: \[\dfrac{t(t-2)+(t+1)(t-3)+5}{(t-2)(t-3)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t^2-2t+1)}{(t-2)(t-3)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)^2}{(t-2)(t-3)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Следовательно, \[t\in \{1\}\cup(2;3)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x=1\\[1ex] &2<2^x<3\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\[1ex] &1<x<\log_23\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство можно переписать в виде

\[\begin{aligned} &7^{2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + \log_7 14} > 7^{\log_7 2}\ \Leftrightarrow\ 2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + \log_7 7 + \log_7 2 > \log_7 2\ \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\ 2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + 1 > 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(7^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} 2t^2 - 3t + 1 > 0 \end{aligned}\]

Корни левой части последнего неравенства: \[t_1 = 1\qquad t_2 = 0,5\] тогда само неравенство равносильно \[2(t - 1)(t - 0,5) > 0\]

По методу интервалов при \(t > 0\)



откуда \(t\in(0; 0,5)\cup(1; +\infty)\), следовательно, \[x\in(-\infty; \log_7 0,5)\cup(0; +\infty)\,.\]

Т.к. показательная функция всегда положительна, то умножим обе части неравенства на \(2^{\frac{-2x}{x+1}}>0\):

\[{\large{2^{\frac{-x}{x+1}}-2^{\frac{5x+3-2x}{x+1}}+8\cdot2^{\frac{-2x}{x+1}} \leqslant 1}}\]

Сделаем замену \(2^{\frac{-x}{x+1}}=t>0\):

\[t-2^3+8t^2\leqslant 1 \quad\Leftrightarrow\quad (8t+9)(t-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad -\frac98\leqslant t\leqslant 1.\]

Т.к. всегда \(t>0\), то данное неравенство равносильно \(t\leqslant 1\). Сделаем обратную замену: \[{\large{2^{\frac{-x}{x+1}}\leqslant 1}}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-x}{x+1}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-1)\cup[0;+\infty).\]

Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на \(2^x\ne 0\) (от этого значение каждой дроби не изменится, а, значит, мы получим равносильное неравенство):

\[\dfrac{3^{11}\cdot \left(\frac32\right)^x}{3-2\cdot \left(\frac32\right)^x}- \dfrac{3^{10}\cdot \left(\frac32\right)^x}{1-\left(\frac32\right)^x}\geqslant 0\]

Разделим правую и левую части на положительное число \(3^{10}\) и сделаем замену: \(\left(\frac32\right)^x=t>0\). Неравенство примет вид:

\[\dfrac{3t}{3-2t}-\dfrac{t}{1-t}\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{t^2}{(3-2t)(1-t)}\leqslant 0\]

Решая неравенство методом интервалов

получим ответ \(t\in \{0\}\cup \left(1;\frac32\right)\). Но \(t>0\), следовательно, окончательный ответ \(t\in \left(1;\frac32\right)\).

Вернемся к старой переменной:

\[1<\left(\frac32\right)^x<\frac32 \quad \Leftrightarrow \quad 0<x<1\]

Ответ: \(x\in (0;1)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 8^x + 3\cdot 4^x + 3\cdot 2^x + 9\geqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(2^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} &t^3 + 3 t^2 + 3t + 9\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2(t + 3) + 3(t + 3)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (t^2 + 3)(t + 3)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t + 3\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad t \geqslant -3\,, \end{aligned}\]

что выполнено при всех \(t > 0\), следовательно, ответ: \[x\in\mathbb{R}\,.\]

Т.к. \(855^\circ=2\cdot 360^\circ +135^\circ\), то \(\sin 855^\circ=\sin 135^\circ=\dfrac1{\sqrt2}\).

Таким образом, неравенство сводится к \[\sqrt{4^x}\geqslant \dfrac1{\sqrt2}\quad \Leftrightarrow\quad 4^{\frac x2}\geqslant 2^{-\frac12} \quad\Leftrightarrow\quad 2^x\geqslant 2^{-\frac12} \quad\Leftrightarrow\quad x\geqslant -\dfrac 12\] (т.к. основание степени \(2>1\), то знак неравенства не меняется).

Следовательно, ответ: \(x\in\left[-\dfrac12;+\infty\right)\).