Решение показательных неравенств (страница 6)

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 2^{3x} + 2^{x} - 2\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 2^x\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} y^3 + y - 2\leqslant 0 \end{aligned}\]

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: \(y = 1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(y - y_0\), где \(y_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} y^3 + 0\cdot y^2+ y - 2 &&\negthickspace\underline{\qquad y-1 \qquad}\\ \underline{y^3-\ \ \ y^2}\phantom{0000000}&&\negthickspace \ y^2 + y + 2\\[-3pt] y^2 + y\,\phantom{000}&&\\ \underline{y^2 - y\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 2y - 2 &&\\ \underline{2y - 2}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (y - 1)(y^2 + y + 2)\leqslant 0 \end{aligned}\]

Так как у уравнения \(y^2 + y + 2 = 0\) дискриминант отрицательный, то выражение \(y^2 + y + 2\) всюду имеет один и тот же знак. Так как при \(y = 1\) выражение \(y^2 + y + 2\) положительно, то оно положительно при всех \(y\).

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (y - 1)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad y\leqslant 1 \end{aligned}\]

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству \[2^x\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\leqslant 2^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 0\,.\]

Перенесем все слагаемые в одну часть: \[\begin{aligned} & 12^x+6^{x+1}+144-16\cdot 3^x-9\cdot 4^x-27\cdot 2^{x+1}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (12^x-9\cdot 4^x)+(6^{x+1}-27\cdot 2^{x+1})+(144-16\cdot 3^x)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad 4^x(3^x-9)+2^{x+1}(3^{x+1}-27)+16(9-3^x)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (3^x-9)(4^x+3\cdot 2^{x+1}-16)\geqslant 0 \end{aligned}\] Рассмотрим выражение \(4^x+3\cdot 2^{x+1}-16=(2^x)^2+6\cdot 2^x-16=(2^x-2)(2^x+8)\). Тогда неравенство примет вид: \[(2^x-2)(2^x+8)(3^x-9)\geqslant 0\] Заметим, что выражение \(2^x+8>0\) при всех \(x\). Следовательно, можно разделить обе части неравенства на него. Тогда по методу рационализации неравенство равносильно: \[(2-1)(x-1)(3-1)(x-2)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x-1)(x-2)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;1]\cup[2;+\infty).\]

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Т.к. \(\dfrac1{10^{4x}}=10^{-4x}=(2\cdot 5)^{-4x}=2^{-4x}\cdot 5^{-4x}\), то неравенство равносильно: \[2^x\cdot 2\cdot 5^3\cdot 5^{-4x}<2^{-4x}\cdot 5^{-4x} \quad \Leftrightarrow \quad 5^{-4x}\cdot \left(250\cdot 2^x-2^{-4x}\right)<0\] Т.к. по определению \(5^{-4x}>\) при всех \(x\) из ОДЗ, то неравенство равносильно \[250\cdot 2^x-2^{-4x}<0\] Умножим обе части неравенства на положительное выражение \(2^{4x}\) и получим \[250\cdot 2^x\cdot 2^{4x}-2^{-4x}\cdot 2^{4x}<0 \quad \Leftrightarrow \quad 250\cdot 2^{5x}<1 \quad \Leftrightarrow \quad 2^{5x}<250^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{5x}<2^{\log_2{250^{-1}}}\]Т.к. основание больше единицы (\(2>1\)), то неравенство равносильно \[5x<\log_2{250^{-1}} \quad \Leftrightarrow \quad x<-\dfrac{1+3\log_25}5\]

Таким образом, ответ \(x\in \left(-\infty;-\frac{1+3\log_25}5\right)\).

Так как \(3^x + 1 > 0\) и \(2017^x + \pi > 0\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{5^x - 1}{22^x - 4}\geqslant 0, \end{aligned}\]

тогда ОДЗ исходного неравенства: \[22^x - 4\neq 0.\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in(-\infty; 0]\cup(\log_{22}4; +\infty)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Так как \(\log_5 15625 = \log_5 5^6 = 6\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 125^x + 6\cdot 25^x + 11\cdot 5^x + 6\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(5^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t^3 + 6t^2 + 11t + 6\leqslant 0 \end{aligned}\]

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: \(t = -1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3+6t^2+11t+6&&\negthickspace\underline{\qquad t+1 \qquad}\\ \underline{t^3+\ t^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ t^2 + 5t + 6\\[-3pt] 5t^2 + 11t\,\phantom{000}&&\\ \underline{5t^2 + 5t\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 6t + 6 &&\\ \underline{6t + 6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (t + 1)(t^2 + 5t + 6)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t + 1)(t + 2)(t + 3)\leqslant 0, \end{aligned}\]

то есть оно не выполняется при \(t > 0\), следовательно, ответ: \[x\in\varnothing\,.\]

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 7^x - 5^x\leqslant 2 \end{aligned}\]

При \(x\leqslant 0\): \[0 < 7^x\leqslant 1,\qquad 0 < 5^x\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant -5^x < 0\] следовательно, \[-1 < 7^x - 5^x < 1 < 2,\] то есть всякий \(x\leqslant 0\) является решением исходного неравенства.

При \(x > 0\):
покажем, что левая часть последнего неравенства возрастает при \(x > 0\): \[(7^x - 5^x)' = 7^x\cdot\ln 7 - 5^x\cdot\ln 5.\] Так как при любом \(x > 0\) выполнено \(7^x > 5^x\), а \(\ln 7 > \ln 5\), то при любом \(x > 0\) \[(7^x - 5^x)' > 0,\] следовательно, \(f(x) = 7^x - 5^x\) – возрастает на промежутке \((0; +\infty)\).

Так как \(f(x)\) возрастает на промежутке \((0; +\infty)\), то у уравнения \(f(x) = 2\) не более одного решения на \((0; +\infty)\). При этом можно угадать его решение \[x = 1.\]

Так как на промежутке \((0; +\infty)\) \(f(x)\) – возрастает, то при \(x\in(0; 1]\) выполнено \[f(x) \leqslant 2,\] а при \(x\in(1; +\infty)\) выполнено \[f(x) > 2\,.\]

Таким образом, \(7^x - 5^x\leqslant 2\) только при \(x\leqslant 1\).

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Так как \(9^{1,5x} = 3^{3x}\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 3^{3x} + (e - 3)\cdot 3^{2x} + (2 - 3e)\cdot 3^x + 2e\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(3^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t^3 + (e - 3)t^2 + (2 - 3e)t + 2e\leqslant 0 \end{aligned}\]

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: \(t = 1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3 + (e - 3)t^2 + (2 - 3e)t + 2e&&\negthickspace\underline{\qquad\quad t-1 \qquad\quad }\\ \underline{t^3-\qquad\quad t^2\,\,} \phantom{00000000000000}&&\negthickspace \ t^2 + (e - 2)t - 2e\\[-3pt] (e - 2)t^2 + (2 - 3e)t\,\phantom{0000}&&\\ \underline{(e - 2)t^2 +\ \, (2 - e)t\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] -2et + 2e &&\\ \underline{-2et + 2e}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (t - 1)(t^2 + (e - 2)t - 2e)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 1)(t - 2)(t + e)\leqslant 0, \end{aligned}\]

что с учётом условия \(t > 0\) равносильно

\[\begin{aligned} (t - 1)(t - 2)\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов при \(t > 0\)



откуда \(t\in[1; 2]\), тогда \(3^x\in[1; 2]\).
таким образом, ответ: \[x\in[0; \log_3 2]\,.\]