Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени)
Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в показателе степени.
\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.
\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение:
\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g(x)}\] где \(a>0, a\ne 1\).
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]
Найдите корень уравнения \(3^{x + 11} = 27\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(3^{x + 11} = 3^3\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(x + 11 = 3\), что равносильно \(x = -8\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(5^{7 - 2x} = 25\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(5^{7 - 2x} = 5^2\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(7 - 2x = 2\), что равносильно \(x = 2,5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(2017^{5 + x} = 1\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(2017^{5 + x} = 2017^0\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(5 + x = 0\), что равносильно \(x = -5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(4^{x} = \dfrac{1}{2}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(2^{2x} = 2^{-1}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(2x = -1\), что равносильно \(x = -0,5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(2^{4x - 8} = 0,5\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(2^{4x - 8} = 2^{-1}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(4x - 8 = -1\), что равносильно \(x = 1,75\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(4^{5 + 5x} = 0,5\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(4^{5 + 5x} = 4^{-0,5}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(5 + 5x = -0,5\), что равносильно \(x = -1,1\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(5^{-7 - 10x} = 0,04\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(5^{-7 - 10x} = 5^{-2}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(-7 - 10x = -2\), что равносильно \(x = -0,5\) – подходит по ОДЗ.
На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или иррациональным уравнениям со знаком корня. База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!
