Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени) (страница 5)
Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в показателе степени.
\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.
\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение:
\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g(x)}\] где \(a>0, a\ne 1\).
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]
Решите уравнение \[- 2^{(2^x)} - 2 = -2^{2\cdot (2^x)}\,.\] Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите наименьший из них.
Сделаем замену \(t = 2^{(2^x)}\), \(t > 0\).
Так как при любом \(a\in\mathbb{R}\) выполнено \(2^{2a} = (2^a)^2\), то \(2^{2\cdot (2^x)} = \left(2^{(2^x)}\right)^2\), следовательно, уравнение примет вид \[t^2 - t - 2 = 0\]
Корни этого уравнения \(t_1 = -1\), \(t_2 = 2\), но \(t > 0\), следовательно, \(t_1\) – не подходит.
Так как \[2^a = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad a = 1\,,\] то \[2^{(2^x)} = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad (2^x) = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]
