Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени) (страница 4)
Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в показателе степени.
\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.
\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение:
\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g(x)}\] где \(a>0, a\ne 1\).
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]
Найдите корень уравнения \(5^{2 - 3x} = 3125\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(5^{2 - 3x} = 5^5\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(2 - 3x = 5\), что равносильно \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((\sqrt{6})^{2x - 15} = (\sqrt{2})^{2x - 15}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Разделим левую и правую часть уравнения на \((\sqrt{2})^{2x - 15}\): \[(\sqrt{3})^{2x - 15} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{3})^{2x - 15} = (\sqrt{3})^0.\] Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно \(2x - 15 = 0\), что равносильно \(x = 7,5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right)^{-4 - 3x} = \dfrac{4}{625}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right)^{-4 - 3x} = \left(\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right)^{-4},\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(-4 - 3x = -4\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((\sqrt{12})^{x + 5} = 2(\sqrt{3})^{x + 5}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Разделим левую и правую часть уравнения на \((\sqrt{3})^{x + 5}\): \[(\sqrt{4})^{x + 5} = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{4})^{x + 5} = (\sqrt{4})^1.\] Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно \(x + 5 = 1\), что равносильно \(x = -4\) – подходит по ОДЗ.
Решите уравнение \[2^{-x^2} = e^{x^2}\]
Так как \(2 = e^{\ln 2}\), то данное уравнение равносильно уравнению \[e^{-x^2\ln 2} = e^{x^2}\,,\] откуда получаем \[-x^2\ln 2 = x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2(1 + \ln 2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]
Решите уравнение \[3^{2x + 2} + 3^{x + 2} = 3^{2\log_3 2}\]
Данное уравнение можно переписать в виде \[3^{2(x + 1)} + 3\cdot 3^{x + 1} = 4\]
Пусть \(t = 3^{x + 1}\), \(t > 0\), тогда \[t^2 + 3t - 4 = 0\,,\] откуда \(t_1 = 1\), \(t_2 = -4\), но \(t > 0\), следовательно, подходит только \(t = 1\).
Тогда \(3^{x + 1} = 1 = 3^0\), что равносильно \(x + 1 = 0\), то есть \(x = -1\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}(\sqrt{11 \pi})^{-2 - 6x} = (\sqrt{11})^{-2 - 6x}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Разделим левую и правую часть уравнения на \((\sqrt{11})^{-2 - 6x}\): \[\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}(\sqrt{\pi})^{-2 - 6x} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{\pi})^{-2 - 6x} = (\sqrt{\pi})^1.\] Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно \(-2 - 6x = 1\), что равносильно \(x = -0,5\) – подходит по ОДЗ.
