Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени) (страница 3)
Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в показателе степени.
\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.
\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение:
\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g(x)}\] где \(a>0, a\ne 1\).
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]
Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{6x - 3} = 729\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{1}{9}\right)^{6x - 3} = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{-3},\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(6x - 3 = -3\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x - 3} = 25^{x}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x - 3} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2x},\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(x - 3 = -2x\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.
Решите уравнение \[4^{x + 1} = 0,25\cdot 4^{-x}\]
Исходное уравнение равносильно уравнению \[4^{x + 1} = 4^{-1}\cdot 4^{-x}\quad\Leftrightarrow\quad 4^{x + 1} = 4^{-1 - x}\quad\Leftrightarrow\quad x + 1 = -1 - x\quad\Leftrightarrow\quad x = -1\,.\]
Найдите корень уравнения \((\sqrt{2})^{4x - 3} = 2\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \((\sqrt{2})^{4x - 3} = (\sqrt{2})^2\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(4x - 3 = 2\), что равносильно \(x = 1,25\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(0,25 \cdot 6^{x + 1} = 3^{x + 1}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Разделим левую и правую часть уравнения на \(3^{x + 1}\): \[0,25 \cdot 2^{x + 1} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^{x + 1} = 2^2.\] Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно \(x + 1 = 2\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(0,3 \cdot 10^{4 - 5x} = 3^{4 - 5x}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Разделим левую и правую часть уравнения на \(3^{4 - 5x}\): \[0,3 \cdot \left(\dfrac{10}{3}\right)^{4 - 5x} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\dfrac{10}{3}\right)^{4 - 5x} = \left(\dfrac{10}{3}\right)^1.\] Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно \(4 - 5x = 1\), что равносильно \(x = 0,6\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(0,2 \cdot 15^{3 - 2x} = 3^{3 - 2x}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Разделим левую и правую часть уравнения на \(3^{3 - 2x}\): \[0,2 \cdot 5^{3 - 2x} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 5^{3 - 2x} = 5^1\] Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно \(3 - 2x = 1\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.
