Иррациональные уравнения (со знаком корня)
Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.
Стандартное иррациональное уравнение:
\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]
\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:
\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]
(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)
\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:
\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]
Найдите корень уравнения \(\sqrt{x + 12} = 6\).
ОДЗ: \(x \geq -12\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(x + 12 = 36\), что равносильно \(x = 24\).
Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{24 + 12} = 6\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 24\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{4x + 5} = 6\).
ОДЗ: \(4x + 5 \geq 0\), что равносильно \(x \geq -1,25\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(4x + 5 = 36\), что равносильно \(x = 7,75\).
Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{4 \cdot 7,75 + 5} = 6\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 7,75\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{6 - x} = 3\).
ОДЗ: \(6 - x \geq 0\), что равносильно \(x \leq 6\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(6 - x = 9\), что равносильно \(x = -3\).
Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{6 - (-3)} = 9\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = -3\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{2x - 9}{5}} = \dfrac{2}{5}\).
ОДЗ: \(\dfrac{2x - 9}{5} \geq 0\), что равносильно \(x \geq 4,5\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{2x - 9}{5} = \dfrac{4}{25}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x - 9 = \dfrac{4}{5}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 4,9.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{2\cdot 4,9 - 9}{5}} = \dfrac{2}{5}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 4,9\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{13 - 2x}{10}} = \dfrac{4}{25}\).
ОДЗ: \(\dfrac{13 - 2x}{10} \geq 0\), что равносильно \(x \leq 6,5\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{13 - 2x}{10} = \dfrac{16}{625}\qquad\Leftrightarrow\qquad 13 - 2x = \dfrac{256}{1000}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 6,372.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{13 - 2\cdot 6,372}{10}} = \dfrac{4}{25}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 6,372\).
Найдите корень уравнения \[\sqrt{2x+31}=9\]
ОДЗ уравнения: \(2x+31\geqslant 0\). Так как правая часть уравнения неотрицательна, то данное уравнение имеет решения и преобразуется в: \[2x+31=81\quad\Rightarrow\quad x=25\] Данный корень подходит под ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{x + 23}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}}\).
ОДЗ: \(\dfrac{x + 23}{6} \geq 0\), что равносильно \(x \geq -23\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{x + 23}{6} = \dfrac{25}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad x + 23 = 50\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 27.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{27 + 23}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 27\).
При подготовке к ЕГЭ по математике у многих выпускников вызывает трудности решение иррациональных уравнений и неравенств. Вывод переменных из-под знака корня и возведение в степени часто сопровождаются ошибками в вычислениях, поэтому стоит обратить внимание на подобные задания. Мы предлагаем школьникам изучить теоретические материалы, рассмотреть типовые примеры с решениями иррациональных уравнений. Также ученики могут попробовать свои силы в выполнении более сложных задач с неизвестными.
Подготовка к ЕГЭ по математике со «Школково» — залог успеха!
Чтобы легко решать иррациональные уравнения со знаком корня, советуем регулярно заниматься на нашем портале. С помощью «Школково» вы сможете получить всю необходимую теоретическую информацию по теме, а также попрактиковаться в решении типовых задач, которые обязательно будут включены в итоговое тестирование.
Наши преподаватели собрали все полезные материалы, систематизировали и изложили их таким образом, чтобы школьникам было проще вспомнить и усвоить информацию даже по сложным темам. База постоянно обновляется и дополняется новыми упражнениями, поэтому выпускники будут получать и решать задания без повторений.
Мы предлагаем начать с легких уравнений и постепенно переходить к более сложным. Так ученикам проще определить свои слабые стороны и сделать упор на те темы, которые даются сложнее всего.
Если простые примеры не вызывают трудностей, пропускайте несколько упражнений и переходите к уравнениям профильного уровня. При необходимости повторите правила и вернитесь к заданию.
Обратите внимание, что занятия на нашем портале доступны не только старшеклассникам из Москвы, но и учащимся из других городов России.
