Иррациональные уравнения (со знаком корня) (страница 2)
Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.
Стандартное иррациональное уравнение:
\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]
\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:
\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]
(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)
\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:
\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]
Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{5}{x + 7}} = 2\).
ОДЗ: \(\dfrac{5}{x + 7} \geq 0\), что равносильно \(x > -7\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{5}{x + 7} = 4,\] что на ОДЗ равносильно \[5 = 4(x + 7)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -5,75.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{5}{-5,75 + 7}} = 2\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = -5,75\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{1}{3x + 4}} = \dfrac{1}{5}\).
ОДЗ: \(\dfrac{1}{3x + 4} \geq 0\), что равносильно \(x > -\dfrac{4}{3}\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{1}{3x + 4} = \dfrac{1}{25},\] что на ОДЗ равносильно \[3x + 4 = 25\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 7.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{1}{3 \cdot 7 + 4}} = \dfrac{1}{5}\] – верное равенство. Итого: \(x = 7\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{2}{-5x + 3}} = 10\).
ОДЗ: \(\dfrac{2}{-5x + 3} \geq 0\), что равносильно \(x < 0,6\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{2}{-5x + 3} = 100,\] что на ОДЗ равносильно \[2 = 100(-5x + 3)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0,596.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{2}{-5\cdot 0,596 + 3}} = 10\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 0,596\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}x}} = \sqrt{3}\).
ОДЗ: \(\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}x} \geq 0\), что равносильно \(x < 66\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}x} = 3,\] что на ОДЗ равносильно \[11 = 3\left(22 - \dfrac{1}{3}x\right)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 55.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}\cdot 55}} = \sqrt{3}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 55\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{x - 8} = 2\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(x - 8 = 2^3\), что равносильно \(x = 16\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{2 + 4x} = 3\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2 + 4x = 3^3\), что равносильно \(x = 6,25\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{-x - 1} = 4\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(-x - 1 = 4^3\), что равносильно \(x = -65\) – подходит по ОДЗ.
