Иррациональные уравнения (со знаком корня) (страница 3)
Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.
Стандартное иррациональное уравнение:
\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]
\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:
\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]
(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)
\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:
\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]
Найдите корень уравнения \(\sqrt{2x + 6} = 2\sqrt{2}x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(2x + 6 \geq 0\), что равносильно \(x \geq -3\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[2x + 6 = 8x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad 8x^2 - 2x - 6 = 0.\] Дискриминант \[D = 4 + 192 = 196 = 14^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{2 + 14}{16} = 1, \ x_2 = \dfrac{2 - 14}{16} = -0,75.\] Подставим в исходное уравнение \(x_1 = 1\): \[\sqrt{2\cdot 1 + 6} = 2\sqrt{2}\cdot 1\] – верное равенство. Подставим в исходное уравнение \(x_2 = -0,75\): \[\sqrt{2\cdot(-0,75) + 6} = 2\sqrt{2}\cdot(-0,75).\] Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит \(x_2 = -0,75\) – не корень исходного уравнения. Ответ: \(x = 1\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{-x + 22} = (-2)^2\).
ОДЗ: \(-x + 22 \geq 0\), что равносильно \(x \leq 22\). Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение можно переписать в виде \[\sqrt{-x + 22} = 4.\]
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(-x + 22 = 16\), что равносильно \(x = 6\).
Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{-6 + 22} = (-2)^2\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 6\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{13x - 40} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.
ОДЗ: \(13x - 40 \geq 0\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[13x - 40 = x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 13x + 40 = 0.\] Дискриминант \(D = 169 - 160 = 9 = 3^2\). Корни \[x_1 = \dfrac{13 + 3}{2} = 8, \ x_2 = \dfrac{13 - 3}{2} = 5.\] Подставив их в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются корнями исходного уравнения. Наименьший корень равен \(5\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{4\dfrac{4}{7}x + 2\dfrac{1}{7}} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(4\dfrac{4}{7}x + 2\dfrac{1}{7} \geq 0\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[4\dfrac{4}{7}x + 2\dfrac{1}{7} = x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 4\dfrac{4}{7}x - 2\dfrac{1}{7} = 0.\] Дискриминант \[D = \dfrac{1024}{49} + \dfrac{60}{7} = \dfrac{1444}{49} = \left(\dfrac{38}{7}\right)^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{1}{2}\biggl(\dfrac{32}{7} + \dfrac{38}{7}\biggr) = 5, \ x_2 = \dfrac{1}{2}\biggl(\dfrac{32}{7} - \dfrac{38}{7}\biggr) = -\dfrac{3}{7}.\] Подставим в исходное уравнение \(x_1 = 5\): \[\sqrt{4\dfrac{4}{7} \cdot 5 + 2\dfrac{1}{7}} = 5\] – верное равенство. Подставим в исходное уравнение \(x_2 = -\dfrac{3}{7}\): \[\sqrt{4\dfrac{4}{7} \cdot \left(\dfrac{-3}{7}\right) + 2\dfrac{1}{7}} = -\dfrac{3}{7}.\] Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит \(x_2 = -\dfrac{3}{7}\) – не корень исходного уравнения. Ответ: \(x = 5\).
Найдите корень уравнения \(\sqrt{x + 3,25} = -1,5x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \geq -3,25\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[x + 3,25 = 2,25x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad 2,25x^2 - x - 3,25 = 0.\] Дискриминант \[D = 1 + \dfrac{117}{4} = \dfrac{121}{4} = \left(\dfrac{11}{2}\right)^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{1 - 5,5}{4,5} = -1, \ x_2 = \dfrac{1 + 5,5}{4,5} = \dfrac{13}{9}.\] Подставим в исходное уравнение \(x_1 = -1\): \[\sqrt{-1 + 3,25} = -1,5\cdot (-1)\] – верное равенство. Подставим в исходное уравнение \(x_2 = \dfrac{13}{9}\): \[\sqrt{\dfrac{13}{9} + 3,25} = -1,5\cdot \dfrac{13}{9}.\] Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит единственный корень \(x = -1\).
Сколько корней имеет данное уравнение? \[\sqrt{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} + \sqrt{x^3 + 3x^2 + x + 1} = 0\]
ОДЗ:
\[\begin{aligned} \begin{cases} x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \geqslant 0\\ x^3 + 3x^2 + x + 1\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned}\]
Так как при любом \(a\geqslant 0\) имеем \(\sqrt{a} \geqslant 0\), то сумма двух корней на ОДЗ равна нулю тогда и только тогда, когда оба корня равны нулю, откуда
\[\begin{aligned} \begin{cases} \sqrt{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} = 0\\ \sqrt{x^3 + 3x^2 + x + 1} = 0\,, \end{cases} \end{aligned}\]
что равносильно
\[\begin{aligned} \begin{cases} x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0\\ x^3 + 3x^2 + x + 1 = 0\,. \end{cases} \end{aligned}\]
Из второго уравнения получаем: \[x^3 + x^2 + 3x^2 + x + 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^3 + x^2 + x + 1 = -2x^2\,.\]
Подставляя это в первое уравнение, находим: \[x^4 - 2x^2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\]
Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только числа \(0,\ \sqrt{2},\ -\sqrt{2}\).
Прямой подстановкой в полученную систему убеждаемся, что ни одно из них не является корнем первого уравнения системы. Например, при \(x = -\sqrt{2}\):
\[\begin{aligned} x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 4 - 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 1 = 7 - 3\sqrt{2}\neq 0 \end{aligned}\]
В итоге, ответ: \(0\).
Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь многочлена с целыми коэффициентами. Антон придумал себе уравнение \[\sqrt{x^2 - 0,5x} - \sqrt{0,5x^2 + 0,5x + 0,5} = 0\] Сколько алгебраических корней у этого уравнения?
ОДЗ:
\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 - 0,5x \geqslant 0\\ 0,5x^2 + 0,5x + 0,5\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned}\]
Исходное уравнение равносильно уравнению \[\sqrt{x^2 - 0,5x} = \sqrt{0,5x^2 + 0,5x + 0,5}\,.\] Так как левая и правая части последнего неравенства неотрицательны, то уравнение, получающееся из данного возведением в квадрат левой и правой частей, равносильно исходному на ОДЗ. \[x^2 - 0,5x = 0,5x^2 + 0,5x + 0,5\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 2x - 1 = 0\,.\] Таким образом, всякое решение исходного уравнения является корнем многочлена \(x^2 - 2x - 1\), следовательно, всякое решение исходного уравнения будет алгебраическим.
Решениями последнего уравнения будут \(1\pm \sqrt{2}\). Прямой проверкой убеждаемся, что оба корня подходят по ОДЗ. Например, для \(x = 1 - \sqrt{2}\):
\[\begin{aligned} &x^2 - 0,5x = 1 - 2\sqrt{2} + 2 - 0,5 + 0,5\sqrt{2} = 2,5 - 1,5\sqrt{2} > 2,5 - 1,5\cdot 1,5 = 0,25 \geqslant 0\\ &0,5x^2 + 0,5x + 0,5 = 0,5(1 - 2\sqrt{2} + 2) + 0,5 - 0,5\sqrt{2} + 0,5 = 2,5 - 1,5\sqrt{2}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]
Таким образом, у исходного уравнения два алгебраических корня.
