Иррациональные уравнения (со знаком корня) (страница 4)
Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.
Стандартное иррациональное уравнение:
\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]
\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:
\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]
(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)
\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:
\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]
Найдите корень уравнения \(\sqrt[101]{13 + 12x} = 1\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(13 + 12x = 1^{101}\), что равносильно \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\sqrt[2016]{7x + 22} = 1\).
ОДЗ: \(7x + 22 \geq 0\). Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(7x + 22 = 1^{2016}\), что равносильно \(x = -3\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{x-4}=3.\)
ОДЗ уравнения: \(x\in\mathbb{R}\).
Уравнение равносильно \(x-4=3^3\), следовательно, \(x=31\).
