Рациональные уравнения
Рациональное (дробное) уравнение – уравнение вида \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – многочлены.
I. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.
Таким образом, рациональное уравнение
\[\large{ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=0 \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} P(x)=0\\ Q(x)\ne 0 \end{cases} }\]
II. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.
Таким образом, \({\color{blue}{\text{на общей ОДЗ функций }P(x)
\text{ и } Q(x)}}\) уравнение
\[\large{P(x)\cdot Q(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &P(x)=0\\ &Q(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.}\]
Найдите корень уравнения \(\dfrac{20x}{3x^2 - 7} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(3x^2 - 7 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{20x - 3x^2 + 7}{3x^2 - 7} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(20x - 3x^2 + 7 = 0\), что равносильно \(3x^2 - 20x - 7 = 0\).
Дискриминант \[D = 400 + 84 = 484 = 22^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{20 + 22}{6} = 7, x_2 = \dfrac{20 - 22}{6} = -\dfrac{1}{3}\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(7\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{3x - 4}{x + 43} = -2\).
ОДЗ: \(x \neq -43\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{3x - 4 + 2\cdot(x + 43)}{x + 43} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{5x + 82}{x + 43} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -16,4\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{-x - 8}{x - 8} = 9\).
ОДЗ: \(x \neq 8\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{-x - 8 - 9\cdot(x - 8)}{x - 8} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{-10x + 64}{x - 8} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 6,4\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 2x}{3 + x} = 3\).
ОДЗ: \(x \neq -3\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 2x - 3\cdot(3 + x)}{3 + x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{-x - 2}{3 + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -2\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{33x - 12} = \dfrac{1}{17 + 32x}\).
ОДЗ: \(33x - 12 \neq 0\) и \(17 + 32x \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1\cdot(17 + 32x) - 1\cdot(33x - 12)}{(33x - 12)(17 + 32x)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1\cdot(17 + 32x) - 1~\cdot~(33x~-~12) = 0\), что равносильно \(-x = -29\), тогда \(x = 29\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{5x - 24} = \dfrac{1}{16 - 3x}\).
ОДЗ: \(5x - 24 \neq 0\) и \(16 - 3x \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24)}{(5x - 24)(16 - 3x)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1\cdot(16 - 3x) - 1\cdot(5x - 24) = 0\), что равносильно \(-8x = -40\), тогда \(x = 5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 24x}{5 + \frac{4}{3}x} = 3\).
ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{15}{4}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 24x - 15 - 4x}{5 + \frac{4}{3}x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{20x - 8}{5 + \frac{4}{3}x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 0,4\) – подходит по ОДЗ.
«Рациональные уравнения с многочленами» — одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.
Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!
Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» — это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.
Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.
Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.
Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, решению кубических уравнений и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!
