Рациональные уравнения (страница 3)
Рациональное (дробное) уравнение – уравнение вида \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – многочлены.
I. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.
Таким образом, рациональное уравнение
\[\large{ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=0 \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} P(x)=0\\ Q(x)\ne 0 \end{cases} }\]
II. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.
Таким образом, \({\color{blue}{\text{на общей ОДЗ функций }P(x)
\text{ и } Q(x)}}\) уравнение
\[\large{P(x)\cdot Q(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &P(x)=0\\ &Q(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.}\]
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1 - 2x}{\dfrac{2}{3} + x} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{2}{3}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right)}{\dfrac{2}{3} + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \[1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2\dfrac{2}{3}x - 1 = 0.\] Дискриминант данного уравнения \[D = \dfrac{64}{9} + 4 = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = \dfrac{1}{3}, \ x_2 = -3\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -3\) – наименьший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7x + 2}{5 - 3x} = -8x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(x \neq \dfrac{5}{3}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x)}{5 - 3x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x) = 0\), что равносильно \(24x^2 - 47x - 2 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \[D = 2209 + 192 = 2401 = 49^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 2, \ x_2 = -\dfrac{1}{24}\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 2\) – наибольший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{x + 2}{7 - x} = 0,5x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(x \neq 7\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{x + 2 - 3,5x + 0,5x^2}{7 - x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x + 2 - 3,5x + 0,5x^2 = 0\), что равносильно \(x^2 - 5x + 4 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \[D = 25 - 16 = 9 = 3^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 4, \ x_2 = 1\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 4\) – наибольший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7,5 - x}{x - 13} = -0,25x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите модуль их разности.
ОДЗ: \(x \neq 13\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7,5 - x + 0,25x^2 - 3,25x}{x - 13} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(7,5 - x + 0,25x^2 - 3,25x = 0\), что равносильно \(x^2 - 17x + 30 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \[D = 289 - 120 = 169 = 13^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 15, \ x_2 = 2\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(|15 - 2| = 13\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{x - 3}{2x + 5} = \dfrac{x - 3}{5x + 2}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(2x + 5 \neq 0\) и \(5x + 2 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{(x - 3)(5x + 2) - (x - 3)(2x + 5)}{(2x + 5)(5x + 2)} = 0\]. Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \((x - 3)(5x + 2) - (x - 3)(2x + 5) = 0\), что равносильно \((x - 3)(5x + 2 - 2x - 5) = 0\).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда \(x_1 = 3, \ x_2 = 1\) – подходят по ОДЗ. Итого: больший из корней \(x = 3\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{2x + 73}{3x - 18} = \dfrac{2x + 73}{18x - 3}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(3x - 18 \neq 0\) и \(18x - 3 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{(2x + 73)(18x - 3) - (2x + 73)(3x - 18)}{(3x - 18)(18x - 3)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \((2x + 73)(18x - 3) - (2x + 73)(3x - 18) = 0\), что равносильно \((2x + 73)(18x - 3 - 3x + 18) = 0\).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда \(x_1 = -36,5, \ x_2 = -1\) – подходят по ОДЗ. Итого: меньший из корней \(x = -36,5\).
