Рациональные уравнения (страница 2)
Рациональное (дробное) уравнение – уравнение вида \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – многочлены.
I. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.
Таким образом, рациональное уравнение
\[\large{ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=0 \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} P(x)=0\\ Q(x)\ne 0 \end{cases} }\]
II. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.
Таким образом, \({\color{blue}{\text{на общей ОДЗ функций }P(x)
\text{ и } Q(x)}}\) уравнение
\[\large{P(x)\cdot Q(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &P(x)=0\\ &Q(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.}\]
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 65} = -1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \neq \pm \sqrt{65}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 + 1\cdot(x^2 - 65)}{x^2 - 65} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 + 1\cdot(x^2 - 65) = 0\), что равносильно \(x^2 = 64\), откуда \(x = \pm 8\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -8\) – меньший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{12 + 0,3x}{1 + 0,1x} = 7\).
ОДЗ: \(x \neq -10\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{12 + 0,3x - 7 - 0,7x}{1 + 0,1x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{-0,4x + 5}{1 + 0,1x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 12,5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 2x + 2} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x^2 - 2x + 2 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 1\cdot(x^2 - 2x + 2)}{x^2 - 2x + 2} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 - 1\cdot(x^2 - 2x + 2) = 0\), что равносильно \(x^2 - 2x + 1 = 0\), откуда \(x = 1\) – подходит по ОДЗ. Ответ: \(x = 1\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{17x}{4x^2 + 4} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(4x^2 + 4 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{17x - 1\cdot(4x^2 + 4)}{4x^2 + 4} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(17x - 1\cdot(4x^2 + 4) = 0\), что равносильно \(4x^2 - 17x + 4 = 0\).
Дискриминант \[D = 289 - 64 = 225 = 15^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{17 + 15}{8} = 4, x_2 = \dfrac{17 - 15}{8} = 0,25\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(4\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 5x + 3} = -1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(x^2 - 5x + 3 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 + 1\cdot(x^2 - 5x + 3)}{x^2 - 5x + 3} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 + 1\cdot(x^2 - 5x + 3) = 0\), что равносильно \(x^2 - 5x + 4 = 0\), откуда \(x_1 = 1, \ x_2 = 4\) – подходят по ОДЗ. Ответ: больший корень \(x = 4\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{-1}{x^2 - 12x - 25} = -\dfrac{1}{3}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x^2 - 12x - 25 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Умножим уравнение на \(-3\), затем перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{3 - (x^2 - 12x - 25)}{x^2 - 12x - 25} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(3 - (x^2 - 12x - 25) = 0\), что равносильно \(x^2 - 12x - 28 = 0\), откуда \(x_1 = 14, \ x_2 = -2\) – подходят по ОДЗ. Ответ: меньший корень \(x = -2\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{-3 - 5x}{x - 5} = 2x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \neq 5\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5)}{x - 5} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5) = 0\), что равносильно \(2x^2 - 5x + 3 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \(D = 1\). Корни квадратного уравнения \(x_1 = 1, \ x_2 = 1,5\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 1\) – наименьший корень.
