Тригонометрические уравнения
Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.
\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi m
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\]
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline &&&&&\\[-17pt]
& \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ)
& \quad \dfrac{\pi}4
\quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad
(90^\circ) \\
&&&&&\\[-17pt]
\hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt]
\hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt]
\hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt]
\hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt]
\hline
\end{array}}}\]
\(\bullet\) Основные формулы приведения:
\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]
Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]
\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:
\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]
Решите уравнение \[\sin \alpha=1\]
В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения, деленный на \(\pi\).
Данное уравнение равносильно серии корней \[\alpha=\dfrac{\pi}2+2\pi
n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[\dfrac{\pi}2+2\pi n>0\quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac14
\quad\Rightarrow\] наименьшее подходящее целое \(n\) — это \(n=0\), при котором получается \(\alpha=\dfrac{\pi}2\).
Следовательно, в ответ пойдет \[\dfrac{\pi}2\div\pi=\dfrac12=0,5.\]
Решите уравнение \[\sin y=0\]
В ответе укажите целый корень уравнения.
Данное уравнение равносильно серии корней \[y=\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Заметим, что единственный целый корень из этой серии получается при \(n=0\) и это \(y=0\) (все остальные корни будут вида целое число умножить на \(\pi\), что является иррациональным числом).
Решите уравнение \[\mathrm{ctg}\, \pi x=0\]
В ответе укажите наименьший положительный корень.
Данное уравнение равносильно \[\pi x=\dfrac{\pi}2+\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac12+n, \quad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительный корень, решив неравенство \[\dfrac12+n>0\quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac12\quad\Rightarrow\] наименьшее \(n=0\), откуда \(x=\dfrac12\).
Решите уравнение \[\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\]
В ответе укажите наименьший положительный корень, принадлежащий первой четверти, деленный на \(\pi\).
Данное уравнение равносильно \[x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n\quad
{\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{3\pi}4+2\pi m,\quad
n,m\in\mathbb{Z}.\]
Видим, что в первой четверти лежит только серия \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n\). Найдем наименьший положительный корень, решив неравенство: \[\dfrac{\pi}4+2\pi n>0 \quad\Leftrightarrow\quad
n>-\dfrac18 \quad\Rightarrow\] наименьшее целое \(n=0\), при котором получаем корень \(x=\dfrac{\pi}4\). Следовательно, в ответ запишем \(\dfrac{\pi}4\div \pi=\dfrac14=0,25.\)
Решите уравнение \[\mathrm{tg}\, \dfrac x6=\sqrt3\]
В ответе укажите наименьший корень, принадлежащий отрезку \([0;2\pi]\), деленный на \(\pi\).
Данное уравнение равносильно \[\dfrac x6=\dfrac{\pi}3+\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi+6\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Корни, принадлежащие отрезку \([0;2\pi]\), найдем, решив неравенство: \[0\leqslant 2\pi+6\pi n\leqslant 2\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac13\leqslant n\leqslant 0\] Целое \(n\), принадлежащее отрезку \(\left[-\frac13;0\right]\), это \(n=0\). Следовательно, корень \(x=2\pi\). Следовательно, в ответ пойдет \(2\).
Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi}{9} x\biggr)} = \dfrac{1}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{9} x_1 = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad \dfrac{\pi}{9} x_2 = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x_1 = 1,5 + 18n, n \in \mathbb{Z}\), \(x_2 = 7,5 + 18n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 1,5\).
Решите уравнение \[\mathrm{tg}\, \dfrac x3=1\]
В ответе укажите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения, деленное на \(\pi^2\).
Данное уравнение равносильно \[\dfrac x3=\dfrac{\pi}4+\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4+3\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\]
Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: \[\dfrac{3\pi}4+3\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<-\dfrac14\quad\Rightarrow\] наибольший отрицательный корень получается при \(n=-1\) и это \(x=-\dfrac{9\pi}4\).
Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[\dfrac{3\pi}4+3\pi n>0\quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac14\quad\Rightarrow\] наибольший отрицательный корень получается при \(n=0\) и это \(x=\dfrac{3\pi}4\).
Тогда произведение, деленное на \(\pi^2\), равно \[-\dfrac{9\pi}4\cdot \dfrac{3\pi}4\div\pi^2=-\dfrac{27}{16}=-1,6875.\]
На этапе подготовки к ЕГЭ по математике старшеклассникам полезно повторить, как решать тригонометрические уравнения. Задания из данного раздела вызывают у учащихся определенные сложности, поэтому к ним необходимо отнестись с особым вниманием. Здесь вы можете ознакомиться с теорией, требующейся для выполнения упражнений, а также примерами с решениями тригонометрических уравнений. Обратите внимание, что подобные задания встречаются в аттестационных тестах довольно часто, поэтому пропускать повторение темы не стоит.
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха!
С помощью нашего образовательного портала занятия по математике будут проходить легко, и даже одни из самых сложных уравнений не вызовут особых затруднений. На сайте «Школково» представлены все необходимые для успешной сдачи ЕГЭ материалы.
Вся основная информация по теме использования функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) располагается в разделе «Теоретическая справка», куда вы можете перейти с помощью кнопки «Ознакомиться с полной теорией». Наши преподаватели систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме. Вы быстро найдете необходимые правило и формулу, и решение тригонометрических уравнений будет даваться максимально легко.
А в разделе «Каталоги» вы сможете попрактиковаться в выполнении заданий. Здесь вы найдете множество уравнений различной сложности, в том числе профильного уровня.
Если какое-либо задание вызвало у вас затруднения, его можно добавить в «Избранное» и вернуться к нему позже для повторения или обсуждения решения с преподавателем.
База «Школково» постоянно обновляется, поэтому недостатка в задачах не будет.
На нашем портале могут заниматься не только московские школьники, но и ученики из городов по всей России. Чтобы приступить к повторению данной темы, а также, например, решению логарифмических уравнений, зарегистрируйтесь на сайте 3.shkolkovo.online. Для большей эффективности уроков рекомендуем ежедневные занятия на нашем портале.
