Тригонометрические уравнения (страница 2)
Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.
\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi m
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\]
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline &&&&&\\[-17pt]
& \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ)
& \quad \dfrac{\pi}4
\quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad
(90^\circ) \\
&&&&&\\[-17pt]
\hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt]
\hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt]
\hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt]
\hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt]
\hline
\end{array}}}\]
\(\bullet\) Основные формулы приведения:
\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]
Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]
\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:
\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]
Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{4\pi}{3} x\biggr)} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{4\pi}{3} x = \pm \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm \dfrac{1}{8} + 1,5n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -\dfrac{1}{8} = -0,125\) при \(n = 0\).
Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi}{3} x\biggr)} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{3} x_1 = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad \dfrac{\pi}{3} x_2 = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x_1 = -1 + 6 n, n \in \mathbb{Z}\), \(x_2 = 4 + 6 n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -1\).
Решите уравнение \[\cos \dfrac x2=-1\]
В ответе укажите произведение наибольших двух отрицательных корней уравнения, деленное на \(\pi^2\).
Данное уравнение равносильно \[\dfrac x2=\pi+2\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi+4\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: \[2\pi+4\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<-\dfrac12\quad\Rightarrow\] последние два отрицательных корня получаются при \(n=-2; \ -1\) и это \(x=-6\pi; \ -2\pi\). Следовательно, их произведение, деленное на \(\pi^2\), равно \(12\pi^2\div \pi^2=12.\)
Решите уравнение \[\cos x=-1\]
В ответе укажите сумму наименьших трех положительных корней уравнения, деленную на \(\pi\).
Данное уравнение равносильно \[x=-\pi+2\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[-\pi+2\pi n>0 \quad\Leftrightarrow\quad n>\dfrac12\quad\Rightarrow\] первые три положительных корня получаются при \(n=1; \ 2; \ 3\) и это \(x=\pi; \ 3\pi; \ 5\pi\). Следовательно, их сумма, деленная на \(\pi\), равна \(9\pi\div\pi=9.\)
Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{2} x\biggr)} = 1.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.
ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{2} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{2} x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,5 + 2n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -1,5\) при \(n = -1\).
Решите уравнение \[\cos x=\dfrac12\]
В ответе укажите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения.
Данное уравнение равносильно серии корней \[x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n\quad {\small{\text{и}}}\quad x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, \qquad n, m\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенства: \[\begin{aligned} \dfrac{\pi}3+2\pi n>0\quad&\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac16\\[2ex] -\dfrac{\pi}3+2\pi m>0\quad&\Leftrightarrow\quad m>\dfrac16 \end{aligned}\] Следовательно, наименьшее подходящее целое \(n\) — это \(n=0\), при котором получается \(x=\dfrac{\pi}3\); наименьшее подходящее целое \(m\) – это \(m=1\), при котором получается \(x=\dfrac{5\pi}3\). Очевидно, что \(\dfrac{\pi}3<\dfrac{5\pi}3\).
Аналогично найдем наибольший отрицательный корень (он будет получаться из второй серии корней при \(m=0\)): \(x=-\dfrac{\pi}3\).
Тогда сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней равна \(-\dfrac{\pi}3+\dfrac{\pi}3=0\).
Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{6} x\biggr)} = \sqrt{3}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{6} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{6} x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 2 + 6n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 2\).
