Тригонометрические уравнения (страница 3)
Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.
\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi m
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\]
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline &&&&&\\[-17pt]
& \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ)
& \quad \dfrac{\pi}4
\quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad
(90^\circ) \\
&&&&&\\[-17pt]
\hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt]
\hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt]
\hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt]
\hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt]
\hline
\end{array}}}\]
\(\bullet\) Основные формулы приведения:
\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]
Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]
\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:
\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]
Найдите корень уравнения \[\mathrm{ctg}\, (2\pi x) = 1.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: \(2\pi x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[2\pi x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,125 + 0,5n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,125\).
Найдите корень уравнения \[\mathrm{ctg}{\biggl(\dfrac{\pi}{3} x\biggr)} = \sqrt{3}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{3} x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{3} x = \dfrac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,5 + 3n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,5\).
Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi}{3} x + \pi \biggr)} = -\dfrac{1}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из его положительных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{3} x_1 + \pi = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad\dfrac{\pi}{3} x_2 + \pi = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x_1 = -\dfrac{7}{2} + 6 n, n \in \mathbb{Z},\qquad x_2 = \dfrac{1}{2} + 6 n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,5\).
Найдите корень уравнения \[\cos\biggl(\pi\biggl(\dfrac{1}{12}x + 5\biggr)\biggr) = \dfrac{1}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\pi\biggl(\dfrac{1}{12}x + 5\biggr) = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad\Leftrightarrow\qquad \biggl(\dfrac{1}{12}x + 5\biggr) = \pm \dfrac{1}{3} + 2 n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = -60 \pm 4 + 24n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ и среди них наибольший отрицательный \(x = -8\) при \(n = 2\).
Найдите корень уравнения \[\sin\biggl(\pi\biggl(2 - \dfrac{1}{3}x\biggr)\biggr) = \dfrac{1}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его не отрицательных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\pi\biggl(2 - \dfrac{1}{3}x_1\biggr) = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\qquad \pi\biggl(2 - \dfrac{1}{3}x_2\biggr) = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[2 - \dfrac{1}{3}x_1 = \dfrac{1}{6} + 2 n, n \in \mathbb{Z},\qquad 2 - \dfrac{1}{3}x_2 = 1 - \dfrac{1}{6} + 2 n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x_1 = \dfrac{11}{2} - 6 n, n \in \mathbb{Z}, \qquad x_2 = \dfrac{7}{2} - 6 n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Наименьший не отрицательный корень исходного уравнения \(x = 3,5\).
Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{\pi}{5} x\biggr)} = \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right).\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{5} x = \pm \dfrac{2\pi}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm 2 + 10n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -2\) при \(n = 0\).
Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{13} x\biggr)} = \mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{4\pi}{13}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{13} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{13} x = \dfrac{4\pi}{13} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 4 + 13n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 4\).
