Тригонометрические уравнения (страница 4)
Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.
\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi m
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\]
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline &&&&&\\[-17pt]
& \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ)
& \quad \dfrac{\pi}4
\quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad
(90^\circ) \\
&&&&&\\[-17pt]
\hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt]
\hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt]
\hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt]
\hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt]
\hline
\end{array}}}\]
\(\bullet\) Основные формулы приведения:
\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]
Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]
\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:
\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]
Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{13} x\biggr)} = \mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{4\pi}{13}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{13} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{13} x = \dfrac{4\pi}{13} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 4 + 13n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 4\).
Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{\pi}{7} x\biggr)} = \cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right).\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\). Так как \[\mathrm{arccos}\left(\cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)\right) = \mathrm{arccos}\left(\cos\left(\dfrac{8\pi}{7} - 2\pi\right)\right) = \mathrm{arccos}\left(\cos\left(-\dfrac{6\pi}{7}\right)\right) = \mathrm{arccos}\left(\cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right)\right) = \dfrac{6\pi}{7},\] то для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{7} x = \pm \dfrac{6\pi}{7} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm 6 + 14n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -6\) при \(n = 0\).
Найдите корень уравнения \[\mathrm{ctg}{\biggl(\dfrac{\pi}{4} x\biggr)} = \mathrm{ctg}\left(\dfrac{\pi}{8}\right).\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{4} x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{4} x = \dfrac{\pi}{8} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,5 + 4n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,5\).
Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{17} x\biggr)} = \mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{22\pi}{17}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.
ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{17} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\). Так как \[\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}{\left(\dfrac{22\pi}{17}\right)}\right) = \mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}{\left(\dfrac{22\pi}{17} - \pi\right)}\right) = \mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}{\left(\dfrac{5\pi}{17}\right)}\right) = \dfrac{5\pi}{17},\] то для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{17} x = \dfrac{5\pi}{17} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 5 + 17n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный \(x = -12\).
Найдите корень уравнения \[\mathrm{ctg}{\biggl(\dfrac{2\pi}{9} x\biggr)} = \mathrm{ctg}\left(\dfrac{5\pi}{9}\right).\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: \(\dfrac{2\pi}{9} x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{2\pi}{9} x = \dfrac{5\pi}{9} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 2,5 + 4,5n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 2,5\).
Решите уравнение \(\sin 4x-\dfrac{\sqrt3}2=0\).
В ответ запишите сумму корней, принадлежащих отрезку \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\), деленную на \(\pi\).
Сделаем замену: \(4x=y\). Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:
\[\sin y=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &y=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &y=\pi - \dfrac{\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Сделаем обратную замену:
\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &4x=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &4x=\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}2 k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Заметим, что из первой серии корней \(x_1=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) попадает только корень \(x=\dfrac{\pi}{12}\) при \(n=0\).
Из второй серии корней \(x_2=\dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}2 k, k\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) попадает только корень \(x=\dfrac{\pi}6\) при \(k=0\).
Сумма этих корней равна \[\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}6=\dfrac{\pi}4\]
Следовательно, в ответ пойдет \(\dfrac{\pi}4\div \pi=\dfrac14=0,25\).
Решите уравнение \(2\cos \left(\dfrac{\pi}4-3x\right)=\sqrt2\).
В ответе укажите произведение корней, входящих в промежуток \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\), деленное на \(\pi^2\).
Т.к. косинус – четная функция, то \(\cos(-x)=\cos x\), следовательно, \(\cos \left(\dfrac{\pi}4-3x\right)=\cos\left(3x-\dfrac{\pi}4\right)\).
Сделаем замену: \(3x-\dfrac{\pi}4=y\). Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:
\[\cos y=\dfrac{\sqrt2}2 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &y=\dfrac{\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &y=-\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Сделаем обратную замену:
\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &3x-\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &3x-\dfrac{\pi}4=-\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &3x=\dfrac{\pi}2+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &3x=2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}6+\dfrac{2\pi}3 k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{2\pi}3 n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
Из первой серии корней \(x_1=\dfrac{\pi}6+\dfrac{2\pi}3 k, k\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\) попадает только корень \(\dfrac{\pi}6\) при \(k=0\).
Из второй серии корней \(x_2=\dfrac{2\pi}3 n, n\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\) попадает только корень \(0\) при \(n=0\).
Следовательно, произведение этих корней равно \(\dfrac{\pi}6\cdot 0=0\).
