Тригонометрические уравнения (страница 5)
Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.
\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi m
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\]
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline &&&&&\\[-17pt]
& \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ)
& \quad \dfrac{\pi}4
\quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad
(90^\circ) \\
&&&&&\\[-17pt]
\hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt]
\hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt]
\hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt]
\hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt]
\hline
\end{array}}}\]
\(\bullet\) Основные формулы приведения:
\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]
Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]
\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:
\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]
Решите уравнение \(\sqrt3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)-1=0\).
В ответе укажите наименьший положительный корень, деленный на \(\pi\).
Данное уравнение преобразуется в \[\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)=\dfrac1{\sqrt3}\]
Заметим, что \(\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\). Сделаем замену \(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=y\). Тогда уравнение примет вид простейшего уравнения:
\[\mathrm{tg}\,y=\dfrac{\sqrt3}3 \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]
Сделаем обратную замену:
\[\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\quad \Rightarrow \quad \dfrac16x=-\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=-\pi+6\pi n, n\in\mathbb{Z}\]
Заметим, что из данной серии корней при \(n=0\) получается корень \(x=-\pi\), который отрицательный, то есть не подходит нам. А вот уже при \(n=1\) мы получаем положительный корень \(x=5\pi\). При \(n\geqslant 2\) корни будут больше \(5\pi\), а при \(n\leqslant -1\) – меньше \(-\pi\). Следовательно, \(5\pi\) – наименьший положительный корень.
Следовательно, в ответ нужно записать \(5\pi\div \pi=5\).
Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\sqrt{e}}{8} x\biggr)} = \mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{-\sqrt{e}}{4}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.
ОДЗ: \(\dfrac{\sqrt{e}}{8} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\sqrt{e}}{8} x = -\dfrac{\sqrt{e}}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x = -2 + \dfrac{8\pi}{\sqrt{e}}n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный \(x = -2\).
Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x\biggr)} = \cos{\biggl(\dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x = \pm \dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm 0,3 + 3\sqrt{2}n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,3\) при \(n = 0\).
Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x\biggr)} = \sin{\biggl(\dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x_1 = \dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x_2 = \pi - \dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x_1 = -0,1 + \dfrac{44}{\sqrt{\pi}} n, n \in \mathbb{Z},\qquad x_2 = \dfrac{22}{\sqrt{\pi}} + 0,1 + \dfrac{44}{\sqrt{\pi}} n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный \(x = -0,1\).
