Задачи на растворы, смеси и сплавы (страница 2)
\(\blacktriangleright\) Концентрация вещества в растворе (сплаве) – это процент содержания этого вещества в растворе (сплаве): \[\text{концентрация вещества}=\dfrac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}}\cdot 100\%\]
\(\blacktriangleright\) Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.
Мокрая губка содержала 80 \(\%\) воды, а после выжимания только 20\(\%\). Чему была равна масса мокрой губки, если масса губки после выжимания стала 100 грамм? Ответ дайте в граммах.
Первый способ:
В выжатой губке \(100\% - 20\% = 80\%\) сухого вещества, тогда после выжимания масса сухого вещества губки стала составлять \(0,8 \cdot 100 = 80\) грамм.
Но и до выжимания она была такой же, при этом до выжимания она составляла только \(100 - 80 = 20\%\) массы мокрой губки, значит масса мокрой губки была \(80 : 0,2 = 400\) грамм.
Второй способ:
Пусть \(x\) кг – масса мокрой губки, тогда \[\dfrac{x}{100}\cdot 20\ \text{г}\] – масса сухого вещества. После выжимания масса сухого вещества стала составлять \(100 - 20 = 80\%\) от массы выжатой губки (то есть 80 грамм), тогда \[\dfrac{x}{100}\cdot 20 = 80,\] откуда \(x = 400\) грамм.
Химик Наташа смешала 10-процентный и 20-процентный растворы спирта. Она знает, что если добавит к смеси 1 литр чистой воды, то получит 14-процентный раствор спирта. С другой стороны, если она добавит вместо 1 литра воды 1 литр 40-процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор спирта. Сколько литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа?
Пусть \(x\) литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа,
пусть \(y\) литров 20-процентного раствора спирта смешала Наташа, тогда
\(\dfrac{10}{100}x + \dfrac{20}{100}y\) литров чистого спирта содержится в растворе Наташи.
По условию при добавлении 1 литра воды раствор станет 14-процентным, тогда:
\(\dfrac{10}{100}x + \dfrac{20}{100}y = \dfrac{14}{100}(x + y + 1)\).
С другой стороны, если она добавит вместо литра воды литр 40-процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор, тогда:
\[\dfrac{10}{100}x + \dfrac{20}{100}y + \dfrac{40}{100}\cdot 1 = \dfrac{22}{100}(x + y + 1).\] Решая систему из двух уравнений, находим \(x = 1, \ y = 3\). Итого: 1 литр 10-процентного раствора спирта смешала Наташа.
Половину объёма огурца когда-то занимала вода, потом этот огурец подсох и вода стала занимать лишь \(20\%\) объёма огурца. Во сколько раз уменьшился объём этого огурца?
Пусть первоначальный объём огурца составлял \(V_0\) литров, а конечный объём \(V_1\) литров. Так как объём сухого вещества не менялся, то \[0,5V_0 = 0,8V_1\,,\] откуда находим \[\dfrac{V_0}{V_1} = 1,6\,,\] следовательно, объём огурца уменьшился в \(1,6\) раз.
Смешав \(30\)-процентный и \(90\)-процентный растворы кислоты и добавив \(10\) кг чистой воды, получили \(42\)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(10\) кг воды добавили \(10\) кг \(50\)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(52\)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(30\)-процентного раствора использовали для получения смеси?
Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий \(0\%\) кислоты.
Пусть \(x\) кг – масса раствора с \(30\)-процентным содержанием кислоты, \(y\) кг – масса раствора с \(90\)-процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение \(42\)-процентного раствора:
Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит \(x\) кг, а в нем \(30\%\) кислоты, то в килограммах в нем \(\dfrac{30}{100}\cdot x\) кислоты.
Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:
\[\dfrac{30}{100}\cdot x+\dfrac{90}{100}\cdot y+ \dfrac{0}{100}\cdot 10=\dfrac{42}{100}\cdot (x+y+10)\]
Аналогично составим схему, описывающую получение \(50\)-процентного раствора:
Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:
\[\dfrac{30}{100}\cdot x+\dfrac{90}{100}\cdot y+ \dfrac{50}{100}\cdot 10=\dfrac{52}{100}\cdot (x+y+10)\]
Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем \(x\). Для этого можно умножить оба уравнения на \(100\), чтобы сделать их проще на вид:
\[\begin{cases} 30x+90y+0=42(x+y+10)\\ 30x+90y+50\cdot 10=52(x+y+10) \end{cases}\]
Данная система равносильна системе
\[\begin{cases} 4y-x=35\\ 19y-11x=10 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=25\\y=15 \end{cases}\]
Таким образом, раствора с \(30\%\) кислоты было \(25\) кг.
Азат смешал \(10\)-процентный, \(20\)-процентный и \(30\)-процентный растворы одной и той же кислоты и получил \(2\) литра \(20\)-процентного раствора. На сколько литров больше было смешано \(10\)-процентного раствора, чем \(30\)-процентного?
Пусть у Азата было \(x\) литров \(10\)-процентного раствора, \(y\) литров \(20\)-процентного раствора и \(z\) литров \(30\)-процентного раствора, тогда \[0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,2(x + y + z)\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,1z = 0,1x \qquad\Leftrightarrow\qquad x = z\,,\] то есть \(10\)-процентного раствора было столько же, сколько и \(30\)-процентного, следовательно, ответ: \(0\).
В лаборатории смешали \(10\)-процентный, \(20\)-процентный и \(30\)-процентный растворы одной и той же кислоты, в результате чего было получено \(3\) литра \(18\)-процентной кислоты. Какой объём смеси получился бы, если бы вместо этого смешали \(10\)-процентную кислоту в объёме, в два раза большем, чем её было изначально, с \(20\)-процентной кислотой, взятой в том же объёме, что и изначально? Ответ дайте в литрах.
Пусть изначально было \(x\) литров \(10\)-процентного раствора, \(y\) литров \(20\)-процентного раствора и \(z\) литров \(30\)-процентного раствора, тогда искомая величина есть \(2x + y\). При этом \[\begin{cases} 0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,18(x + y + z)\\ x + y + z = 3 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 0,1x + 0,2y + 0,3(3 - x - y) = 0,54\\ z = 3 - x - y \end{cases}\] из первого уравнения последней системы находим: \[2x + y = 3,6\,.\] Таким образом, ответ: \(3,6\).
У Риты было два наполовину заполненных \(10\)-литровых ведра: одно с краской, а другое с водой. Рита взяла и перелила из ведра с водой в ведро с краской ровно \(1\) литр (при помощи ковша объёмом \(1\) литр). Затем, немного подумав, она перелила из ведра, которое изначально было с краской, литр в ведро с водой. Вот только она не помнит, перемешивала ли она содержимое ведра, которое изначально было с краской, прежде чем перелить из него литр. Найдите разность между концентрацией воды в ведре с краской и концентрацией краски в ведре с водой.
Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с краской вода: это вода, которая была перелита в первый раз, но не ушла при втором переливании. При втором переливании именно её место в ковше заняла краска.
Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с водой краска: это краска, которая была перелита во второй раз, то есть это та самая краска, которая заняла место навсегда оставшейся в ведре с краской воды, следовательно, объём краски в ведре с водой равен объёму воды в ведре с краской. Так как объёмы содержимого вёдер одинаковы, то и соответствующие концентрации одинаковы, тогда ответ: \(0\).
