Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона
\(\blacktriangleright\) Если уравнение прямой задано в виде \({\color{royalblue}{y=kx+b \;}}\), то число \(k\) называется угловым коэффициентом.
\(\blacktriangleright\) Угол \(\alpha\) наклона прямой – это угол между этой прямой и положительным направлением оси \(Ox\) (\(0\leqslant \alpha< 180^\circ\)), лежащий в верхней полуплоскости.
\(\blacktriangleright\) Основная формула. Угловой коэффициент прямой \(y=kx+b\) равен тангенсу угла наклона этой прямой:
\[{\large{\color{royalblue}{k=\mathrm{tg}\, \alpha}}}\]
Т.к. касательная к графику некоторой функции — это и есть прямая, то для нее верны все эти утверждения.
Если \(\alpha<90^\circ\), то \(k>0\);
если \(\alpha>90^\circ\), то \(k<0\);
если \(\alpha=0^\circ\), то \(k=0\) (уравнение прямой имеет вид \(y=b\) и она параллельна оси \(Ox\));
если \(\alpha=90^\circ\), то уравнение прямой имеет вид \(x=a\) и она перпендикулярна оси \(Ox\).
Прямая, заданная уравнением \(y = x\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Так как для прямой \(y = x\) коэффициент \(k\) равен \(1\), то \(\mathrm{tg}\, \alpha = 1\).
Прямая, заданная уравнением \(y = 2x - 3\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Так как для прямой \(y = 2x - 3\) коэффициент \(k\) равен \(2\), то \(\mathrm{tg}\, \alpha = 2\).
Прямая, заданная уравнением \(y = -x + 2\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Так как для прямой \(y = -x + 2\) коэффициент \(k\) равен \(-1\), то \(\mathrm{tg}\, \alpha = -1\).
Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 77\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(k\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = 12\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx + 77\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(12\), то \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = 12\).
Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 0,2\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(k\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = -3,3\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx + 0,2\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(-3,3\), то \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = -3,3\).
Прямая, заданная уравнением \(y = kx\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(k\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = 0\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(0\), то \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = 0\).
Прямая \(y = kx - 2016\) образует угол \(45^{\circ}\) с положительным направлением оси \(Ox\). Найдите \(k\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Так как угол между прямой \(y = kx - 2016\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\dfrac{\pi}{4}\), то \(k = \mathrm{tg}\, \dfrac{\pi}{4} = 1\).
Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.
Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.
Основные моменты
Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.
Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела», мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.
