Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона (страница 3)
\(\blacktriangleright\) Если уравнение прямой задано в виде \({\color{royalblue}{y=kx+b \;}}\), то число \(k\) называется угловым коэффициентом.
\(\blacktriangleright\) Угол \(\alpha\) наклона прямой – это угол между этой прямой и положительным направлением оси \(Ox\) (\(0\leqslant \alpha< 180^\circ\)), лежащий в верхней полуплоскости.
\(\blacktriangleright\) Основная формула. Угловой коэффициент прямой \(y=kx+b\) равен тангенсу угла наклона этой прямой:
\[{\large{\color{royalblue}{k=\mathrm{tg}\, \alpha}}}\]
Т.к. касательная к графику некоторой функции — это и есть прямая, то для нее верны все эти утверждения.
Если \(\alpha<90^\circ\), то \(k>0\);
если \(\alpha>90^\circ\), то \(k<0\);
если \(\alpha=0^\circ\), то \(k=0\) (уравнение прямой имеет вид \(y=b\) и она параллельна оси \(Ox\));
если \(\alpha=90^\circ\), то уравнение прямой имеет вид \(x=a\) и она перпендикулярна оси \(Ox\).
Прямая \(y = kx - 0,5\cdot \sqrt{2}\) образует угол \(\alpha\) с отрицательным направлением оси \(Ox\), при этом, \(\cos \alpha = \dfrac{4}{\sqrt{17}}\). Найдите \(k\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Из основного тригонометрического тождества находим, что \(\sin \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{17}}\), но с учётом \(0 \leq \alpha < \pi\) получаем, что \(\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\).
Так как прямая \(y = kx - 0,5\cdot \sqrt{2}\) образует угол \(\alpha\) с отрицательным направлением оси \(Ox\), то её угол с положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\pi - \alpha\) и с учётом тождеств \(\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha, \ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha\) получим \(k = \mathrm{tg}(\pi - \alpha) = \dfrac{\sin (\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} = \dfrac{\sin \alpha}{-\cos \alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{17}} : \left(-\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right) = -0,25\).
Прямая, заданная уравнением \(y = 3x + 2\), касается графика некоторой функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\), а прямая \(y = 6x + 4\) касается графика этой же функции в точке \((x_1; f(x_1))\).
Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к графику функции \(f(x)\) в точках \((x_0; f(x_0))\) и \((x_1; f(x_1))\), где угол наклона прямой считается углом между прямой и положительным направлением \(Ox\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Таким образом, для прямой \(y = 3x + 2\) искомый тангенс угла наклона равен \(3\), а для прямой \(y = 6x + 4\) искомый тангенс угла наклона равен \(6\). Итого: сумма тангенсов углов наклона касательных к графику функции \(f(x)\) в точках \((x_0; f(x_0))\) и \((x_1; f(x_1))\) равна \(9\).
Прямая \(y = kx + 0,1\) образует угол \(\alpha\) с положительным направлением оси \(Ox\), при этом, \(\cos \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\). Найдите \(k\).
Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).
Таким образом, \(k = \mathrm{tg}\, \alpha\), при том, что \(\cos \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\) и \(0 \leq \alpha < \pi\). Из основного тригонометрического тождества (для всякого \(\alpha\) выполнено \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)) получаем, что \(\sin^2 \alpha = \dfrac{1}{5}\), тогда \(\sin \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{5}}\), но с учётом \(0 \leq \alpha < \pi\) заключаем, что \(\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\), тогда \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} : \dfrac{2}{\sqrt{5}} = 0,5\).
