Задачи, сводящиеся к решению неравенств
Основные способы решения некоторых простейших неравенств:
1. Квадратичное неравенство \(ax^2+bx+c> 0\). Если уравнение \(ax^2+bx+c=0\) имеет корни \(x_1, x_2\) (или один корень \(x_1\)), его можно переписать в виде \(a(x-x_1)(x-x_2)>0\) (\(a(x-x_1)^2>0\)) и далее решить методом интервалов.
Если уравнение не имеет корней, то при \(a>0\) выражение \(ax^2+bx+c>0\), при \(a<0\) выражение \(ax^2+bx+c<0\) при всех \(x\).
2. Показательное неравенство \(a^{f(x)}> a^{g(x)}\) равносильно \(f>g\), если \(a>1\), или \(f<g\), если \(0<a<1\).
3. Логарифмическое неравенство \(\log_a{f(x)}> \log_a{g(x)}\) равносильно \(f>g\), если \(a>1\), или \(f<g\), если \(0<a<1\), при условии выполненного ОДЗ: \(f>0, g>0\).
Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в паскалях, \(V\) – объем в м\(^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в кельвинах, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). В какое минимальное число раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос не менее, чем в 5 раз?
Обозначим начальные параметры с индексом 0. При увеличении объема не менее чем в 5 раз имеем: \[\nu R T \geq 5pV_0 = 5\nu R T_0,\] откуда \(T \geq 5T_0\), то есть чтобы чтобы при неизменном давлении газа его объем вырос не менее чем в 5 раз надо увеличить его температуру минимум в 5 раз.
Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в паскалях, \(V\) – объем в м\(^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в кельвинах, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в \(1,5\) раза по сравнению с первоначальным. В какое минимальное число раз при этом должен был увеличиться объем газа, чтобы его температура увеличилась не менее, чем в 6 раз?
Обозначим начальные параметры с индексом 0. Выразим температуру: \[T = \dfrac{pV}{\nu R},\] тогда при увеличении давления газа в 1,5 раза и увеличении его температуры не менее чем в 6 раз имеем: \[\dfrac{1,5p_0V}{\nu R} = T \geq 6T_0 = 6\cdot\dfrac{p_0V_0}{\nu R},\] откуда \(V \geq 4V_0\), то есть объем газа должен был увеличиться не менее, чем в 4 раза.
Закон Ома гласит, что сила тока полной цепи, измеряемая в амперах, равна \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R+r},\] где \(\mathcal{E} \geq 0\) – ЭДС источника (в вольтах), \(R\) – сопротивление цепи в Омах, \(r = 10\) Ом – внутреннее сопротивление источника. При каком максимальном сопротивлении цепи сила тока будет составлять не менее, чем \(0,5\) от силы тока короткого замыкания \[I_{\text{кз}} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}?\] Ответ дайте в Омах.
\[I \geq 0,5 I_{\text{кз}}\ \Leftrightarrow\ \dfrac{\mathcal{E}}{R+10} \geq 0,5\cdot \dfrac{\mathcal{E}}{10}\ \Leftrightarrow\ \dfrac{1}{R+10} \geq 0,5\cdot \dfrac{1}{10}\Leftrightarrow\ \dfrac{1}{R+10} \geq \dfrac{1}{20},\] что равносильно \(R + 10 \leq 20\), откуда находим \(R \leq 10\) Ом, то есть максимальное сопротивление, при котором сила тока будет составлять не менее, чем \(0,5\) от силы тока короткого замыкания, равно \(10\) Ом.
Агентство “Rate me!”\(\ \)составило рейтинг университетов на основании 3 показателей: \(A, \ B, \ C\). Итоговый рейтинг каждого университета вычислялся по формуле \[R = k(A + 2B + C^2),\] где \(k\) – некоторое число, а показатели \(A, \ B, \ C\) оценивались по 10-балльной шкале. Известно, что университет \(U\) получил не менее, чем по 6 баллов по показателям \(A\) и \(B\) и не менее, чем 7 баллов по показателю \(C\). При этом его рейтинг оказался равен 33,5. Какое наибольшее значение при этом могло иметь число \(k\)?
Выразим \(k\): \[k = \dfrac{R}{A + 2B + C^2}.\] Так как при постоянном положительном числителе увеличение знаменателя уменьшает дробь, то \[k \leq \dfrac{33,5}{6 + 12 + 49} = 0,5,\] то есть наибольшее значение \(k\) могло быть 0,5.
Материальная точка \(P\) движется в поле силы тяжести так, что для неё справедлив закон сохранения энергии в виде \[\dfrac{v^2}{2}+gz = 4,\] где \(v\) – её скорость в м/с, \(g = 10\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения, \(z\) – высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах). Определите, при какой наибольшей высоте над уровнем моря скорость точки \(P\) может быть не менее, чем \(2\) м/с. Ответ дайте в метрах.
Выразим \(v^2\): \[v^2 = 8 - 20z.\] Так как \(v \geq 2\), то \(v^2 \geq 4\), тогда \[8 - 20z \geq 4 \qquad\Leftrightarrow\qquad 4 \geq 20z\qquad\Leftrightarrow\qquad z \leq 0,2.\] То есть наибольшая допустимая высота равна \(0,2\) метра.
Материальная точка \(M\) движется в поле силы тяжести так, что для неё справедлив закон сохранения энергии в виде \[\dfrac{mv^2}{2}+mgz = h,\] где \(v = 10\) м/с – ее скорость, \(g = 10\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения, \(z\) – высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах), \(h\) – ее механическая энергия в Дж, \(m = 2\) кг – ее масса. Определите, при какой наименьшей высоте над уровнем моря механическая энергия точки \(M\) будет не менее, чем 200 Дж. Ответ дайте в метрах.
Искомая высота \(z\) удовлетворяет соотношению \[h = 100 + 20z \geq 200\qquad\Leftrightarrow\qquad z \geq 5,\] следовательно, наименьшая допустимая высота равна 5 метрам.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \[m(t) = m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}},\] где \(m_0\) – начальная масса изотопа в мг, \(t\) – время в годах, прошедшее от начального момента, \(T\) – период полураспада (в годах). В начальный момент времени масса изотопа \(m_0 = 1000\) мг. Известно, что через 60000 лет после начала распада масса изотопа составила не более, чем \(125\) мг. Каким наибольшим может быть период полураспада этого изотопа? Ответ дайте в годах.
Искомый период полураспада удовлетворяет соотношению \[m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}} = m(t) \leq 125,\] откуда \[1000\cdot 2^{-\frac{60000}{T}} \leq 125\ \Leftrightarrow\ 2^{-\frac{60000}{T}} \leq \dfrac{1}{8}\ \Leftrightarrow\ 2^{-\frac{60000}{T}} \leq 2^{-3}\ \Leftrightarrow\ -\dfrac{60000}{T} \leq -3\ \Leftrightarrow\ \dfrac{60000}{T} \geq 3,\] откуда \(T \leq 20000\), следовательно, наибольший возможный период полураспада этого изотопа составляет 20000 лет.
