Задачи, сводящиеся к решению уравнений
Для того, чтобы безошибочно решать задачи из данной подтемы, необходимо натренировать умение решать простейшие уравнения из \(5\) темы и выполнять преобразования из \(9\) темы. Напомним способы решения уравнений:
1. Корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) ищутся по формуле \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\). Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
2. В кубическом уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с целыми коэффициентами \(a, b, c, d\) рациональное число \(\dfrac pq\) будет корнем тогда и только тогда, когда \(d\) делится на \(p\), \(a\) делится на \(q\).
3. Иррациональное уравнение \[\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \ {\small{\text{(данное условие нужно только если } n \text{ — четное)}}} \end{cases}\]
4. Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x), \quad a>0, a\ne 1\)
5. Логарифмическое уравнение (\(a>0, a\ne 1\)) \[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\]
6. Тригонометрические уравнения \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]
Путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид \(x(t) = t^3 + 2t^2 - t + 1\). Каким оказалось перемещение этой точки из положения, которое она занимала в момент \(t = -1\), в положение, которое она занимала в момент \(t = 1\)?
\[x(-1) = -1 + 2 + 1 + 1 = 3,\qquad\qquad x(1) = 1 + 2 - 1 + 1 = 3\,,\] следовательно, перемещение составило \[|x(-1) - x(1)| = |3 - 3| = 0\,.\]
Агентство “Агентство”\(\ \)составляет рейтинг университетов на основании 4 показателей: \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\). Итоговый рейтинг каждого университета вычисляется по формуле \[R = \dfrac{5P_1 + 4P_2 + 3P_3 - P_4}{K},\] где \(K\) – некоторое число, а показатели \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\) оцениваются по 100-балльной шкале. Университет “Университет”\(\text{ }\)получил по 50 баллов по всем оцениваемым показателям и его рейтинг оказался \(R = 50\). Чему равно \(K\)?
\[50 = \dfrac{5\cdot 50 + 4\cdot 50 + 3\cdot 50 - 50}{K} = \dfrac{11\cdot 50}{K},\] откуда \(K = 11.\)
Астероид вытянутой формы летит со скоростью \(9\, 000\) км/с относительно Игоря, который неподвижно стоит на Земле. Длина астероида, которую наблюдает Игорь в телескоп, может быть найдена по формуле \[l = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\,,\] где \(l_{\text{н}}\) – длина неподвижного относительно Игоря астероида, \(v\) км/с – скорость астероида, \(c = 300\, 000\) км/с – скорость света. Игорь уверен, что наблюдаемая им длина астероида равна \(0,2\sqrt{9991}\) км. Чему тогда равна длина неподвижного относительно Игоря такого же астероида? Ответ дайте в километрах.
Так как \[\dfrac{v^2}{c^2} = \left(\dfrac{v}{c}\right)^2\,,\] то в рассматриваемом случае \[\dfrac{v^2}{c^2} = \left(\dfrac{9000}{300\, 000}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{100}\right)^2 = \dfrac{9}{10\, 000}\]
Теперь все имеющиеся данные подставим в формулу: \[0,2\sqrt{9991} = l_{\text{н}}\sqrt{1 - \dfrac{9}{10\, 000}} = l_{\text{н}}\sqrt{\dfrac{9991}{10\, 000}} = l_{\text{н}}\dfrac{\sqrt{9991}}{100}\,.\]
В итоге \[0,2\sqrt{9991} = l_{\text{н}}\dfrac{\sqrt{9991}}{100}\qquad\Leftrightarrow\qquad l_{\text{н}} = 20\]
Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в Паскалях, \(V\) – объем в м\(^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в кельвинах, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?
Пусть \(V_1\) – начальный объём газа в м\(^3\), \(T_1\) – начальная температура газа в кельвинах, \(T_2\) – конечная температура газа в кельвинах (т.е. после увеличения объема в 3 раза), тогда \(3V_1\) – конечный объём.
Для начальных параметров известно, что \[pV_1 = \nu R T_1,\] для конечных параметров известно, что \[p\cdot 3V_1 = \nu R T_2.\] Умножая первое уравнение на \(3\), получаем \[3pV_1 = 3\nu R T_1,\] откуда заключаем, что \(3\nu R T_1 = \nu R T_2\), следовательно, \(T_2 = 3 T_1\), то есть, температуру совершенного газа надо увеличить в \(3\) раза.
Водолазный колокол, содержащий \(\nu =2\) моля воздуха при давлении \(p_1=1,75\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \[A=\alpha\cdot \nu \cdot T\cdot \log_2\dfrac{p_2}{p_1} \ ,\] где \(\alpha=13,3\) Дж/моль\(\cdot\)K — постоянная, \(T=300\) K — температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(15\,960\) Дж.
Подставим все значения из условия в формулу и получим следующее уравнение относительно \(p_2\): \[15960=13,3\cdot 2\cdot300\cdot \log_2\dfrac{p_2}{1,75}\quad \Rightarrow\quad \log_2\dfrac{p_2}{1,75}=\dfrac{15960}{2\cdot 30\cdot 133}=2\quad\Rightarrow\quad \dfrac{p_2}{1,75}=4\quad\Rightarrow\quad p_2=7\]
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \({\large{m=m_0\cdot 2^{-\frac tT}}}\), где \(m_0\) - начальная масса изотопа, \(t\) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(96\) мг. Период его полураспада составляет \(3\) мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна \(3\) мг.
Подставим значения в формулу: \[3=96\cdot 2^{-\frac t3}\quad\Leftrightarrow\quad 2^{-\frac t3}=\dfrac1{32} \quad\Leftrightarrow\quad 2^{-\frac t3}=2^{-5}\quad\Leftrightarrow\quad -\frac t3=-5\quad\Leftrightarrow\quad t=15\]
Антон метнул копьё под углом \(\phi\) к горизонтальной поверхности земли. Продолжительность полета копья в секундах можно найти по формуле \[t = \dfrac{2v_0\sin{\phi}}{g}.\] При каком наименьшем значении угла \(\phi\) в градусах время полета копья будет \(3,2\) секунды, если Антон метнул его с начальной скоростью \(v_0 = 32\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
Значение угла \(\phi\), при котором время полета копья будет \(3,2\) секунды, можно найти из уравнения \[3,2 = \dfrac{2\cdot 32\cdot\sin{\phi}}{10} \qquad\Leftrightarrow\qquad \sin{\phi} = 0,5.\] Наименьшее неотрицательное значение \(\phi\), при котором \(\sin{\phi} = 0,5\) равно \(30^{\circ}\).
