Задачи, сводящиеся к решению уравнений (страница 4)
Для того, чтобы безошибочно решать задачи из данной подтемы, необходимо натренировать умение решать простейшие уравнения из \(5\) темы и выполнять преобразования из \(9\) темы. Напомним способы решения уравнений:
1. Корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) ищутся по формуле \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\). Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
2. В кубическом уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с целыми коэффициентами \(a, b, c, d\) рациональное число \(\dfrac pq\) будет корнем тогда и только тогда, когда \(d\) делится на \(p\), \(a\) делится на \(q\).
3. Иррациональное уравнение \[\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \ {\small{\text{(данное условие нужно только если } n \text{ — четное)}}} \end{cases}\]
4. Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x), \quad a>0, a\ne 1\)
5. Логарифмическое уравнение (\(a>0, a\ne 1\)) \[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\]
6. Тригонометрические уравнения \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]
Рейтинг \(R\) интернет-магазина вычисляется по формуле \[{\large{R=r_{\text{пок}}-\dfrac{r_{\text{пок}}-r_{\text{экс}}}{(K+1)\cdot \frac{0,02K}{r_{\text{пок}}+0,1}} \ ,}}\]
где \(r_{\text{пок}}\) – средняя оценка магазина покупателями (от \(0\) до \(1\)), \(r_{\text{экс}}\) – оценка магазина экспертами (от \(0\) до \(0,7\)) и \(K\) – число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина “Альфа”, если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно \(10\), их средняя оценка равна \(0,45\), а оценка экспертов равна \(0,67\).
Перепишем формулу следующим образом, чтобы избавиться от “трехэтажных” дробей: \[{\large{R=r_{\text{пок}}- \dfrac{(r_{\text{пок}}-r_{\text{экс}})\cdot (r_{\text{пок}}+0,1)}{(K+1)\cdot 0,02K}}}\]
Из условия задачи следует, что \(K=10\), \(r_{\text{пок}}=0,45\), \(r_{\text{экс}}=0,67\). Подставим эти значения в формулу: \[R=0,45-\dfrac{(0,45-0,67)(0,45+0,1)}{(10+1)\cdot 0,02\cdot 10}= 0,45+\dfrac{0,22\cdot 0,55}{11\cdot 0,02\cdot 10}\] Домножим числитель и знаменатель дроби на \(100\cdot 100\), чтобы избавиться от десятичных дробей: \[R=0,45+\dfrac{22\cdot 55}{11\cdot 2\cdot 10\cdot 100}= 0,45+\dfrac{5\cdot 11}{1000}=0,45+0,055=0,505.\]
Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_N,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами \(m_1 = 1,\ m_2 = 2,\ m_3 = 3,\ m_4 = 4,\ m_5\) и ускорениями \(a_1 = 1,\ a_2 = 1,\ a_3 = 1,\ a_4 = 1,\ a_5\), пусть сила при этом \(F = 30\) Н. Во сколько раз увеличится сила \(F\) при увеличении ускорения 5-ой точки в \(2,5\) раза?
Пусть \(m_5\) и \(a_5\) – начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально \[F = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 1 + 4\cdot 1 + m_5a_5 = 10 + m_5a_5 = 30\ \mathrm{H}.\] откуда \(m_5a_5 = 20\) Н.
После увеличения ускорения 5-ой точки в \(2,5\) раза сила станет \[F = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 1 + 4\cdot 1 + m_5\cdot 2,5a_5 = 10 + 2,5m_5a_5 = 10 + 2,5\cdot 20 = 60\ \mathrm{H},\] то есть увеличится в 2 раза.
Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_N,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 3 материальных точек с массами \(m_1 = m_2 = 0,5m_3\) и ускорениями \(a_1 = a_2 = a_3\). Во сколько раз увеличится сила \(F\) при увеличении ускорения 3-ей точки в \(4\) раза?
Пусть \(m_i\) и \(a_i\) – начальные параметры \(i\)-ой точки, тогда изначально \[F = m_1a_1 + m_2a_2 + m_3a_3 = 0,5m_3a_3 + 0,5m_3a_3 + m_3a_3 = 2m_3a_3.\] После увеличения ускорения 3-ей точки в \(4\) раза сила станет \[F = m_1a_1 + m_2a_2 + m_3\cdot 4a_3 = 0,5m_3a_3 + 0,5m_3a_3 + 4m_3a_3 = 5m_3a_3,\] то есть увеличится в \(2,5\) раза.
Эсминец “Тихий” плывет с постоянной скоростью \(v_0 = 33\) узла (1 узел = 1 морская миля в час). В момент времени \(t = 0\) часов он выпускает торпеду, которая до попадания в цель разгоняется с постоянным ускорением \(a = 66\) узлов в час. Расстояние в морских милях от места пуска торпеды до торпеды определяется из формулы \[S = v_0t+\dfrac{at^2}{2}.\] Определите время с момента пуска (в часах), за которое торпеда поразит неподвижную цель, если расстояние от цели до места пуска торпеды равно \(0,6732\) морских миль.
Время, за которое торпеда поразит неподвижную цель, можно найти из уравнения \[v_0t+\dfrac{at^2}{2} = 0,6732,\] что при учёте значений для скорости и ускорения равносильно \[33t + 33t^2 = 0,6732 \quad\Leftrightarrow\quad t^2+t-0,0204=0\] Дискриминант уравнения \[D=1+0,0816=1,0816=2^6\cdot 13^2\cdot 10^{-4}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{D}=2^3\cdot 13\cdot 10^{-2}=1,04.\]
У данного квадратного уравнения имеется два корня \(t_1 = 0,02,\ t_2 = -1,02\), но время \(t > 0\), тогда \(t = 0,02\) часа.
Объем спроса \(Q\) единиц в месяц на продукцию предприятия \(N\) зависит от цены \(P\) в тыс. руб. по формуле \(Q(P) = 50 - P^2\). Месячная выручка \(R\) в тыс. руб. предприятия \(N\) вычисляется по формуле \(R = P\cdot Q\). Определите наименьшую цену \(P\), при которой месячная выручка \(R\) составит \(136\) тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.
\(R = P\cdot Q = 50P - P^3\). Месячная выручка составит \(136\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из уравнения \[50P - P^3 = 136\qquad\Leftrightarrow\qquad P^3 - 50P + 136 = 0.\] Можно угадать один из корней последнего уравнения: \(P = 4\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((P - 4)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} P^3+0\cdot P^2-50P+136&&\negthickspace\underline{\qquad P-4 \qquad}\\ \underline{P^3-\ \ 4P^2\ } \phantom{00000000000}&&\negthickspace \ \, P^2 +4P - 34\\[-3pt] 4P^2 - 50P\ \phantom{00000}&&\\ \underline{4P^2 - 16P\ }\phantom{00000}&&\\[-3pt] -34P + 136&&\\ \underline{-34P + 136}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]
Таким образом, \[P^3 - 50P + 136 = (P - 4)(P^2 + 4P - 34).\] Рассмотрим отдельно уравнение \(P^2 + 4P - 34 = 0\). Его корни \(P = -2\pm\sqrt{38}\).
В итоге уравнение \(P^3 - 50P + 136 = 0\) имеет корни \(P_1 = 4, \ P_2 = -2+\sqrt{38}, \ P_3 = -2-\sqrt{38}\). Так как цена \(P > 0\), то \(P_3\) не подходит.
Среди \(P_1\) и \(P_2\) меньшим является \(P_1 = 4\) (так как \(P_2 = \sqrt{38} - 2 > \sqrt{36} - 2 = 6 - 2 = 4\)).
Итого: наименьшая цена \(P\), при которой месячная выручка \(R\) составит \(136\) тыс. руб., равна \(4\) тыс. руб.
Материальная точка \(P\) движется по прямой так, что её скорость в каждый момент времени \(t\) может быть найдена по формуле \(\vec{v}(t) = (x^2(t) + x(t) + t)\vec{e}_x\), где \(x(t)\) – координата точки \(P\). Известно, что при \(t\in(-1; 0)\) точка двигалась в направлении \(\vec{e}_x\), а при \(t\in(0; 1)\) – в противоположную сторону. Найдите \(x(0)\), если известно, что через положение \(x = 0\) точка не проходила.
Так как при \(t\in(-1; 0)\) точка двигалась в направлении \(\vec{e}_x\), а при \(t\in(0; 1)\) – в противоположную сторону, то в момент \(t = 0\) скорость точки должна быть равной \(0\), откуда \[x^2(0) + x(0) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x(0) = 0\\ x(0) = -1\,, \end{gathered} \right.\] но положение \(x = 0\) точка не проходила, следовательно, ответ: \(x(0) = -1\).
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \[pV^k=1,25\cdot 10^8 \ \text{Па}\cdot \text{м}^4,\] где \(p\) – давление в газе в паскалях, \(V\) – объем газа в кубических метрах, \(k=\frac43\). Найдите, какой объем \(V\) (в куб. м) будет занимать газ при давлении \(p\), равном \(2\cdot 10^5\) Па.
Подставим данные в формулу: \[2\cdot 10^5\cdot V^{\frac43}=1,25\cdot 10^8\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{V^4}=10^3\cdot \dfrac{10}8\cdot \dfrac12\quad\Rightarrow\quad V=\left(10^4\cdot \dfrac1{2^4}\right)^{\frac34}=10^3\cdot \dfrac1{2^3}=\dfrac{1000}8=125\]
