Задачи, сводящиеся к решению неравенств (страница 2)
Основные способы решения некоторых простейших неравенств:
1. Квадратичное неравенство \(ax^2+bx+c> 0\). Если уравнение \(ax^2+bx+c=0\) имеет корни \(x_1, x_2\) (или один корень \(x_1\)), его можно переписать в виде \(a(x-x_1)(x-x_2)>0\) (\(a(x-x_1)^2>0\)) и далее решить методом интервалов.
Если уравнение не имеет корней, то при \(a>0\) выражение \(ax^2+bx+c>0\), при \(a<0\) выражение \(ax^2+bx+c<0\) при всех \(x\).
2. Показательное неравенство \(a^{f(x)}> a^{g(x)}\) равносильно \(f>g\), если \(a>1\), или \(f<g\), если \(0<a<1\).
3. Логарифмическое неравенство \(\log_a{f(x)}> \log_a{g(x)}\) равносильно \(f>g\), если \(a>1\), или \(f<g\), если \(0<a<1\), при условии выполненного ОДЗ: \(f>0, g>0\).
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \[m(t) = m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}},\] где \(m_0\) – начальная масса изотопа в мг, \(t\) – время в годах, прошедшее от начального момента, \(T\) – период полураспада (в годах). В начальный момент времени масса изотопа \(m_0 = 100\) мг. Период его полураспада \(T = 400\) лет. Через какое наименьшее количество лет масса изотопа станет не более, чем \(25\) мг?
Количество лет, через которое масса изотопа станет не более, чем \(25\) мг, удовлетворяет соотношению \[m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}} = m(t) \leq 25,\] откуда \[100\cdot 2^{-\frac{t}{400}} \leq 25\ \Leftrightarrow\ 2^{-\frac{t}{400}} \leq \dfrac{1}{4}\ \Leftrightarrow\ 2^{-\frac{t}{400}} \leq 2^{-2}\ \Leftrightarrow\ -\dfrac{t}{400} \leq -2\ \Leftrightarrow\ \dfrac{t}{400} \geq 2,\] откуда \(t \geq 800\), то есть минимум через 800 лет масса изотопа станет не более, чем \(25\) мг.
Сила тока в неразветвлённой части некоторой полной цепи с \(n\) параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{n}},\] где \(\mathcal{E} > 0\) – ЭДС каждого источника (в вольтах), \(R = 6\) Ом – сопротивление цепи в Омах, \(r = 4\) Ом – внутреннее сопротивление каждого источника. При каком наибольшем количестве элементов ЭДС в сети сила тока составит не более, чем половину от силы тока короткого замыкания одного источника \[I_{\text{кз}} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}?\]
Количество источников, при котором сила тока составит не более, чем половину от силы тока короткого замыкания одного источника, удовлетворяет неравенству \[\dfrac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{n}} \leq \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{r},\] которое с учётом известных данных принимает вид \[\dfrac{\mathcal{E}}{6 + \frac{4}{n}} \leq \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{4},\] что в силу \(\mathcal{E} > 0\) равносильно \[\dfrac{1}{6 + \frac{4}{n}} \leq \dfrac{1}{8} \qquad\Leftrightarrow\qquad 6 + \dfrac{4}{n} \geq 8\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{4}{n} \geq 2,\] откуда \(0< n \leq 2\). Таким образом, наибольшее допустимое число элементов ЭДС равно 2.
Автомобиль, участвующий в дрэг-рейсинге, разгоняется с места по прямолинейному отрезку пути длиной \(l\) км с постоянным ускорением \(a\) км/ч\(^2\). Зависимость его скорости от расстояния выражается формулой \(v = \sqrt{2la}\). Определите, какой наименьшей может быть длина трассы, чтобы при ускорении \(7500\) км/ч\(^2\) автомобиль успел достичь скорости не меньшей, чем \(300\) км/ч. Ответ дайте в километрах.
Длина трассы, при которой автомобиль успеет достичь скорости не меньшей, чем \(300\) км/ч, удовлетворяет соотношению \[\sqrt{2l\cdot 7500} = v \geq 300,\] что равносильно \(\sqrt{15000\cdot l} \geq 300\), что с учётом неотрицательности правой части равносильно \(15000~\cdot~l \geq 90000\), что равносильно \(l \geq 6\), тогда наименьшая подходящая длина трассы равна 6 километрам.
Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_n,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами \(m_1 = 1,\ m_2 = 2,\ m_3 = 1,\ m_4 = 2,\ m_5\) и ускорениями \(a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ a_3 = 2,\ a_4 = 4,\ a_5\), пусть сила при этом \(F = 40\). В какое минимальное число раз надо увеличить ускорение 5-ой точки, чтобы сила \(F\) увеличилась не менее, чем в 3 раза?
Пусть \(m_{5_0}\) и \(a_{5_0}\) – начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально \[F_0 = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + m_{5_0}a_{5_0} = 15 + m_{5_0}a_{5_0} = 40,\] откуда \(m_{5_0}a_{5_0} = 25\) Н. При увеличении силы не менее, чем в 3 раза имеем: \[15 + m_{5_0}a_5 = F \geq 3F_0 = 120,\ \Leftrightarrow\ m_{5_0}a_5 \geq 105 = \dfrac{105}{25}\cdot 25 = \dfrac{105}{25}m_{5_0}a_{5_0},\ \Leftrightarrow\ a_5 \geq 4,2\cdot a_{5_0},\] то есть ускорение 5-ой точки надо увеличить минимум в 4,2 раза.
Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле \[\mathcal{E} = \dfrac{l - l_0}{l_0},\] где \(l_0\) – начальная длина стержня (в метрах), \(l\) – конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) не менее, чем в \(1,4\) раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять \(60\%\) от длины, которая была в состоянии 1. Какое при этом наименьшее относительное удлинение мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?
В состоянии 1 длина стержня стала \(l_1 \geq 1,4l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[l_2 = \dfrac{60}{100}\cdot l_1 \geq \dfrac{60}{100}\cdot 1,4l_0 = 0,84l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое при этом получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию: \[\mathcal{E} = \dfrac{l_2 - l_0}{l_0} \geq \dfrac{0,84l_0 - l_0}{l_0} = -0,16,\] следовательно, наименьшее относительное удлинение, которое при этом мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \(-0,16\).
Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле \[\mathcal{E} = \dfrac{l - l_0}{l_0},\] где \(l_0\) – начальная длина стержня (в метрах), \(l\) – конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) не более, чем в \(1,2\) раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять \(90\%\) от длины, которая была в состоянии 1. Какое при этом наибольшее относительное удлинение мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?
В состоянии 1 длина стержня стала \(l_1 \leq 1,2l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[l_2 = \dfrac{90}{100}\cdot l_1 \leq \dfrac{90}{100}\cdot 1,2l_0 = 1,08l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое при этом получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию: \[\mathcal{E} = \dfrac{l_2 - l_0}{l_0} \leq \dfrac{1,08l_0 - l_0}{l_0} = 0,08,\] следовательно, наибольшее относительное удлинение, которое при этом мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \(0,08\).
После предупредительного выстрела в воздух высота пули до падения менялась по закону \(h = 2 + 300t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента выстрела. Сколько секунд с момента выстрела пуля находилась на высоте не менее \(2502\) метров?
Моменты \(t\), в которые пуля находилась на высоте не менее \(2502\) метров, удовлетворяют неравенству \[2 + 300t - 5t^2 \geqslant 2502\qquad\Leftrightarrow\qquad 5t^2 - 300t + 2500 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 - 60t + 500\leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(t^2 - 60t + 500 = 0\): \[t_1 = 10, \qquad\qquad t_2 = 50\] тогда:
следовательно, пуля находилась на высоте не менее 2502 метров в моменты времени \(t\in[10;50]\), то есть в течение \(50 - 10 = 40\) секунд.
