Задачи, сводящиеся к решению неравенств (страница 3)
Основные способы решения некоторых простейших неравенств:
1. Квадратичное неравенство \(ax^2+bx+c> 0\). Если уравнение \(ax^2+bx+c=0\) имеет корни \(x_1, x_2\) (или один корень \(x_1\)), его можно переписать в виде \(a(x-x_1)(x-x_2)>0\) (\(a(x-x_1)^2>0\)) и далее решить методом интервалов.
Если уравнение не имеет корней, то при \(a>0\) выражение \(ax^2+bx+c>0\), при \(a<0\) выражение \(ax^2+bx+c<0\) при всех \(x\).
2. Показательное неравенство \(a^{f(x)}> a^{g(x)}\) равносильно \(f>g\), если \(a>1\), или \(f<g\), если \(0<a<1\).
3. Логарифмическое неравенство \(\log_a{f(x)}> \log_a{g(x)}\) равносильно \(f>g\), если \(a>1\), или \(f<g\), если \(0<a<1\), при условии выполненного ОДЗ: \(f>0, g>0\).
Миша ударил по мячу так, что тот полетел вертикально вверх. Высота мяча до падения меняется по закону \(h = 0,5 + 25t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. Сколько секунд с момента удара мяч находился на высоте не менее \(0,5\) метра?
Моменты \(t\), в которые мяч находился на высоте не менее \(0,5\) метра, удовлетворяют неравенству \[0,5 + 25t - 5t^2 \geq 0,5 \qquad\Leftrightarrow\qquad 25t - 5t^2 \geq 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 - 5t \leq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(t^2 - 5t = 0\): \[t_1 = 0, \qquad\qquad t_2 = 5,\] тогда:
следовательно, мяч находился на высоте не менее 0,5 метра в моменты времени \(t\in[0;5]\), то есть в течение \(5 - 0 = 5\) секунд.
Объем спроса \(Q\) единиц в месяц на продукцию предприятия \(M\) зависит от цены \(P\) в тыс. руб. по формуле \(Q(P) = 29 - P\). Месячная выручка \(R\) в тыс. руб. предприятия \(M\) вычисляется по формуле \(R = P\cdot Q\). Определите наименьшую цену \(P\), при которой месячная выручка \(R\) окажется не менее \(100\) тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.
\[R = P\cdot Q = 29P - P^2.\] Месячная выручка составит не менее \(100\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из неравенства \(29P - P^2 \geq 100\), что равносильно \[P^2 - 29P + 100 \leq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(P^2 - 29P + 100 = 0\): \[P_1 = 4, \qquad\qquad P_2 = 25,\] тогда:
то есть наименьшая цена, при которой месячная выручка составит не менее \(100\) тыс. руб., равна 4 тыс. руб.
В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле \(F = \rho g h S_{\text{дна}}\), где \(F\) – сила давления в ньютонах, \(\rho\) – плотность жидкости в кг/м\(^3\), \(h\) – высота столба жидкости в метрах, \(S_{\text{дна}}\) – площадь дна в м\(^2\). В какое наименьшее число раз надо увеличить радиус основания цилиндра при прочих неизменных параметрах, чтобы сила давления на дно увеличилась не менее, чем в 16 раз?
Начальные параметры обозначим с индексом 0, тогда \[\rho g h S_{\text{дна}} = F \geq 16F_0 = 16\rho g h S_{\text{дна}_0},\] откуда \(S_{\text{дна}} \geq 16S_{\text{дна}_0}\).
Так как \(S_\text{круга} = \pi r^2\), где \(r\) – радиус этого круга, то последнее неравенство эквивалентно \[r^2 - 16{r_0}^2 \geq 0.\] Обозначим искомое отношение через \(k = \dfrac{r}{r_0}\), тогда \(r = kr_0\) и последнее неравенство перепишется в виде \[k^2{r_0}^2 - 16{r_0}^2 \geq 0\qquad\Leftrightarrow\qquad k^2 - 16 \geq 0\] (так как \({r_0}^2 > 0\)). Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(k^2 - 16 = 0\): \[k = \pm 4.\] Тогда:
но \(k \geq 0\) (так как \(r \geq 0, \ r_0 \geq 0\)), тогда подходят \(k \geq 4\), то есть радиус основания надо увеличить минимум в 4 раза.
Расстояние, которое пролетит камень, брошенный с Земли под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\) м/с, может быть найдено по формуле \[l = \dfrac{{v_0}^2\sin{(2\alpha)}}{g},\] где \(l\) – расстояние в метрах, \(g = 9,8\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения. С какой минимальной начальной скоростью достаточно бросить камень под углом \(60^{\circ}\) к горизонту, чтобы расстояние, которое он пролетит, было не менее, чем \(\dfrac{1445\sqrt{3}}{98}\) метра? Ответ дайте в м/с.
Так как \(\sin 120^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то \[\dfrac{1445\sqrt{3}}{98} \leq l = \dfrac{{v_0}^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{9,8}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1445\sqrt{3}}{98} \leq \dfrac{5{v_0}^2\cdot\sqrt{3}}{98} \qquad\Leftrightarrow\qquad {v_0}^2 - 289 \geq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \({v_0}^2 - 289 = 0\): \[v_0 = \pm 17.\] Тогда:
но \(v_0 \geq 0\), тогда подходят \(v_0 \geq 17\), то есть минимальная подходящая скорость равна \(17\) м/с.
Сила гравитационного притяжения между материальными точками массы \(m_1\) кг и \(m_2\) кг, находящимися на расстоянии \(R\) метров, может быть найдена по формуле \[F = G\dfrac{m_1m_2}{R^2},\] где \(G = 6,67\cdot 10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\) – гравитационная постоянная. В какое максимальное число раз можно увеличить расстояние между материальными точками, чтобы при неизменных массах сила гравитационного притяжения между ними уменьшилась не более, чем в 10,24 раза?
Пусть начальная сила гравитационного притяжения между материальными точками равна \(F_0\) Н, а начальное расстояние между ними равно \(R_0\) м, тогда \[G\dfrac{m_1m_2}{R^2} = F \leq 10,24 F_0 = 10,24 G\dfrac{m_1m_2}{{R_0}^2},\] откуда \(\dfrac{1}{R^2}\leq 10,24\dfrac{1}{{R_0}^2}\), что равносильно \(R^2 \geq 10,24{R_0}^2\).
Обозначим искомую величину за \(k = \dfrac{R}{R_0}\), тогда \(R = kR_0\), откуда \(k^2{R_0}^2 \geq 10,24 {R_0}^2\). Поделим неравенство на \({R_0}^2\) (\({R_0}^2 > 0\)): \(k^2 \geq 10,24\), что равносильно \[k^2 - 10,24 \geq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(k^2 - 10,24 = 0\): \[k_1 = -3,2,\qquad\qquad k_2 = 3,2,\] тогда:
но расстояние между материальными точками – неотрицательно, следовательно, \(k\geq 0\), тогда расстояние между материальными точками можно увеличить минимум в \(3,2\) раза.
Максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный Артемом с Земли под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\) м/с, может быть найдена по формуле \[h = \dfrac{{v_0}^2\sin^2{\alpha}}{2g},\] где \(h\) – максимальная высота в метрах, \(g = 10\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения. Артём смог бросить камень под углом \(30^{\circ}\) к горизонту с такой начальной скоростью, которая оказалось минимальной среди скоростей, достаточных для того, чтобы камень поднялся на высоту не менее \(2,8125\) метра. С какой скоростью бросил камень Артем? Ответ дайте в м/с.
Так как \(\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена как наименьшее положительное решение неравенства \[\dfrac{{v_0}^2\cdot(\frac{1}{2})^2}{2\cdot 10} \geq 2,8125 \qquad\Leftrightarrow\qquad {v_0}^2 - 225 \geq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \({v_0}^2 - 225 = 0\): \[v_{0_1} = -15,\qquad\qquad v_{0_2} = 15,\] тогда:
то есть наименьшее положительное решение этого неравенства равно 15, следовательно, Артем бросил камень со скоростью 15 м/с.
Объем спроса \(Q\) единиц в месяц на продукцию предприятия \(M\) зависит от цены \(P\) в тыс. руб. по формуле \(Q(P) = 55 - P\). Месячная выручка \(R\) в тыс. руб. предприятия \(M\) вычисляется по формуле \(R = P\cdot Q\). Определите наибольшую цену \(P\), при которой месячная выручка \(R\) окажется не менее \(250\) тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.
\[R = P\cdot Q = 55P - P^2.\] Месячная выручка составит не менее \(250\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из неравенства \[55P - P^2 \geq 250\qquad\Leftrightarrow\qquad P^2 - 55P + 250 \leq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(P^2 - 55P + 250 = 0\): \[P_1 = 5,\qquad\qquad P_2 = 50,\] тогда:
то есть наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее \(250\) тыс. руб., равна 50 тыс. руб.
