Задачи, сводящиеся к решению неравенств (страница 4)
Основные способы решения некоторых простейших неравенств:
1. Квадратичное неравенство \(ax^2+bx+c> 0\). Если уравнение \(ax^2+bx+c=0\) имеет корни \(x_1, x_2\) (или один корень \(x_1\)), его можно переписать в виде \(a(x-x_1)(x-x_2)>0\) (\(a(x-x_1)^2>0\)) и далее решить методом интервалов.
Если уравнение не имеет корней, то при \(a>0\) выражение \(ax^2+bx+c>0\), при \(a<0\) выражение \(ax^2+bx+c<0\) при всех \(x\).
2. Показательное неравенство \(a^{f(x)}> a^{g(x)}\) равносильно \(f>g\), если \(a>1\), или \(f<g\), если \(0<a<1\).
3. Логарифмическое неравенство \(\log_a{f(x)}> \log_a{g(x)}\) равносильно \(f>g\), если \(a>1\), или \(f<g\), если \(0<a<1\), при условии выполненного ОДЗ: \(f>0, g>0\).
Максим подкинул монетку, высота которой до падения меняется по закону \[h = 1,2 + 15t - 5t^2,\] где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента подкидывания. Сколько секунд монетка будет находиться на высоте не менее \(11,2\) метра?
Монетка будет находиться на высоте не менее \(11,2\) метра в те моменты \(t\), которые удовлетворяют неравенству \[1,2 + 15t - 5t^2 \geq 11,2\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 -3t + 2\leq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 -3t + 2 = 0\): \[t_1 = 1,\qquad\qquad t_2 = 2,\] тогда:
то есть монетка находилась на высоте не менее \(11,2\) метра в моменты \(t \in [1;2]\), тогда она находилась на высоте не менее \(11,2\) метра в течение \(2 - 1 = 1\) секунды.
Проводя опыты с погружением тела, ограниченного поверхностью куба, в жидкость, Настя вспомнила, что на погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда), которая находится по формуле \(F_A = \rho gV\), где \(\rho\) – плотность воды в кг/м\(^3\), \(g = 9,8\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения, \(V\) – объем тела в м\(^3\). Она задумалась, в какое минимальное число раз надо увеличить каждое ребро куба, ограничивающего тело, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее, чем в 64 раза. Какой ответ она должна получить при правильном вычислении?
Пусть длина ребра начального куба равна \(x\) м, тогда объем ограниченного им тела равен \(x^3\) м\(^3\), следовательно, начальная сила Архимеда равна \(F_{A_{\text{н}}} = \rho gx^3\). Обозначим ребро искомого куба за \(y\). Так как сила Архимеда должна увеличиться не менее, чем в 64 раза, то \[\rho gy^3 \geq 64F_{A_{\text{н}}} = 64\rho gx^3\qquad\Leftrightarrow\qquad y^3 - 64x^3\geq 0\qquad\Leftrightarrow\qquad y^3 - (4x)^3 \geq 0.\] Так как фактически в задаче просят найти именно отношение \(y\) к \(x\), то обозначим \(\dfrac{y}{x} = z\), откуда \(y = zx\), следовательно, \[(zx)^3 - (4x)^3 \geq 0.\] Последнее неравенство можно разделить на \(x^3\) с учётом того, что \(x^3 > 0\) (так как \(x > 0\)). В результате получим \[z^3 - 4^3\geq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(z^3 - 4^3 = 0\): \(z = 4\), тогда:
то есть минимальное число раз, в которое надо увеличить ребро куба, ограничивающего тело, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее, чем в 64 раза, равно 4.
Таня бросила камень вниз с обрыва. Она может приближенно рассчитать высоту над уровнем моря (в метрах), на которой находился камень в момент времени \(t\) секунд (\(t\) отсчитывается с момента броска) по формуле \(h = 1000 - 20t - 5t^2\). Какое по ее подсчетам наибольшее время после броска камень находился на высоте не менее, чем 520 метров над уровнем моря, если она не ошиблась? Ответ дайте в секундах.
Время \(t\), в течение которого камень находился на высоте не менее, чем 520 метров, удовлетворяет неравенству \[1000 - 20t - 5t^2 \geq 520\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 + 4t - 96 \leq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 + 4t - 96 = 0\): \[t_1 = 8, \qquad\qquad t_2 = -12,\] тогда:
то есть наибольшее время, в течение которого камень находился на высоте не менее, чем 520 метров, равно 8 секунд.
Материальная точка \(N\) движется в поле силы тяжести. Для неё справедлив закон сохранения энергии в виде \[\dfrac{mv^2}{2}+mgz = h,\] где \(v = 6\) м/с – ее скорость, \(g = 10\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения, \(z\) – высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах), \(h\) – ее механическая энергия в Дж, \(m\) – ее масса в кг. Определите, какое наименьшее значение может иметь масса точки, чтобы существовало значение \(z \in [5; 10]\), при котором механическая энергия оказалась бы не менее, чем \(236\) Дж. Ответ дайте в килограммах.
Для некоторого \(z\in[5; 10]\) должно выполняться \[18m + 10mz \geq 236\qquad\Leftrightarrow\qquad (18 + 10z)m \geq 236\qquad\Leftrightarrow\qquad m\geq \dfrac{118}{9 + 5z}.\] Рассмотрим отдельно выражение \(\dfrac{118}{9 + 5z}\) при \(z\in[5; 10]\):
\(5 \leq z \leq 10\), тогда \(25 \leq 5z \leq 50\), тогда \(34 \leq 9 + 5z \leq 59\), тогда \[\dfrac{1}{59} \leq\dfrac{1}{9+5z} \leq\dfrac{1}{34}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2 \leq\dfrac{118}{9+5z} \leq\dfrac{118}{34}.\] В итоге на \(z\in[5;10]\): \[m \geq \dfrac{118}{9 + 5z} \geq 2,\] следовательно, для выполнения условия задачи \(m\) не может быть меньше 2, причём при \(z = 10\) неравенство \[m\geq \dfrac{118}{9 + 5z}\] принимает вид \(m\geq 2\), следовательно, наименьшее допустимое значение массы точки \(N\) равно \(2\) кг.
Рейтинг студентов некоторого университета вычисляется на основании показателей \(m\), \(n\), \(k\) по следующей формуле: \[\dfrac{m^2 + n^2 + 0,5\cdot mnk}{n + k}\,.\] Рейтинг Димы равен \(10\), а Тимур имеет следующие значения показателей: \(m = 10\), \(k = 3\). Какое минимальное значение показателя \(n\) может иметь Тимур, чтобы его рейтинг был не меньше, чем рейтинг Димы, если \(n \geqslant 0\)?
Подставим известные значения для вычисления рейтинга Тимура: \[\dfrac{100 + n^2 + 15n}{n + 3}\]
Полученная величина должна быть не меньше \(10\), причём \(n\geqslant 0\), следовательно, \(n + 3 > 0\), тогда \[\dfrac{100 + n^2 + 15n}{n + 3}\geqslant 10\qquad\Leftrightarrow\qquad n^2 + 5n + 70 \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (n + 2,5)^2 + 63,75 \geqslant 0\,,\] что выполнено при всех \(n\). Таким образом, наименьшее допустимое значение \(n\) равно \(0\).
Аня подбросила толстого плохо обтекаемого кота. Высота, на которой он находился до достижения люстры, менялась по закону \[h = 1 + 8t - 8t^2,\] где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. После достижения люстры (которая висела на высоте \(h = 3\) м) кот провисел на ней 1 секунду и упал вместе с ней. Во время падения кота его высота до благополучного приземления на лапы менялась по закону \(h = 3 - 2t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента совместного падения кота и люстры. Сколько секунд с момента подбрасывания кот находился на высоте не менее \(1\) метра?
Моменты \(t\), в которые кот находился на высоте не менее \(1\) метра пока летел вверх, удовлетворяют двойному неравенству \[1 \leq 1 + 8t - 8t^2 \leq 3.\] Решим два неравенства по очереди.
Рассмотрим неравенство \(1 \leq 1 + 8t - 8t^2\). Оно равносильно неравенству \[t^2 - t \leq 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 - t = 0\): \[t_1 = 0,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:
тогда решениями этого неравенства будут \(t\in[0; 1]\).
Рассмотрим теперь неравенство \(1 + 8t - 8t^2 \leq 3\). Оно равносильно неравенству \[4t^2 -4t + 1 \geq 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(4t^2 -4t + 1 = 0\): \[t = 0,5,\] тогда:
но с учётом того, что \(t \geq 0\) подходят только \(t \geq 0\).
По условию задачи при достижении высоты 3 метра (как показано выше, это произошло в момент \(t = 0,5\)) кот зацепился на люстре и его высота больше не менялась по закону \(h = 1 + 8t - 8t^2\), следовательно из решений последнего неравенства нас интересуют только \(t\in[0; 0,5]\).
Тогда общее решение двух неравенств: \(t\in [0; 0,5]\), то есть пока кот летел вверх, он находился на высоте не менее 1 метра в течение \(0,5 - 0 = 0,5\) секунд.
Далее 1 секунду он висел на люстре, потом стал падать и до падения его высота менялась по закону \(h = 3 - 2t^2\).
Моменты \(t\), в которые он был на высоте не менее 1 метра, удовлетворяют неравенству \(3 - 2t^2 \geq 1\), которое равносильно \[t^2 \leq 1.\] Решим его методом интервалов. Найдём корни уравнения \(3 - 2t^2 = 1\): \[t_1 = -1,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:
так как нас интересуют только \(t \geq 0\), то в итоге, падая, кот находился на высоте не менее \(1\) метра в моменты \(t\in[0; 1]\), то есть в течение \(1 - 0 = 1\) секунды. В сумме он был на высоте не менее одного метра в течение \(0,5 + 1 + 1 = 2,5\) секунд.
Высота сигнальной ракеты после выстрела и до падения менялась по закону \(h = 80t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента выстрела. Сколько секунд с момента выстрела до момента падения сигнальная ракета находилась на высоте не более \(140\) метров?
Моменты \(t\), в которые сигнальная ракета находилась на высоте не более \(140\) метров удовлетворяют двойному неравенству \[0 \leq 80t - 5t^2 \leq 140.\] Решим два неравенства по очереди.
Рассмотрим неравенство \(0 \leq 80t - 5t^2\). Оно равносильно неравенству \[5t^2 - 80t \leq 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(5t^2 - 80t = 0\): \[t_1 = 0, \qquad\qquad t_2 = 16,\] тогда:
тогда решениями этого неравенства будут \(t\in[0; 16]\).
Рассмотрим теперь неравенство \(80t - 5t^2 \leq 140\). Оно равносильно неравенству \(5t^2 -80t + 140 \geq 0\), что равносильно \[t^2 -16t + 28 \geq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 -16t + 28 = 0\): \[t_1 = 2, \qquad\qquad t_2 = 14,\] тогда:
но с учётом того, что \(t \geq 0\) подходят только \(t\in[0; 2] \cup [14; +\infty)\).
В итоге сигнальная ракета находилась на высоте не более \(140\) метров в моменты \(t\in[0; 2] \cup [14; 16]\), то есть в течение \((2 - 0) + (16 - 14) = 4\) секунды.
