Термодинамика (страница 3)
Одно и то же постоянное количество одноатомного идеального газа расширяется из одного и того же начального состояния \(p_1\), \(V_1 \) до одного и того же конечного объёма \(V_2\) первый раз по изобаре 1–2, а второй – по адиабате 1–3 (см. рисунок). Отношение количества теплоты \(Q_{12}\), полученного газом от нагревателя в ходе процесса 1–2, к модулю изменения внутренней энергии газа в ходе процесса 1–3 равно k = 5. Определите отношение \(\dfrac{A_{12}}{A_{13}}\) работы газа в процессе 1–2 к работе газа в процессе 1–3.
Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu RT\] По первому закону термодинамики количество теплоты, полученное телом в процессе 1–2 равно \[Q=\Delta U +A,\] где \(Q\) – количество теплоты, полученное системой, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии системы, \(A\) – работа газа.
Или с учетом уравнения Клапейрона–Менделеева \[Q_{12}=U_2-U_1+A=\dfrac{3}{2}\left(\nu RT_2-\nu R T_1\right)+ p_1 \left(V_2-V_1\right) =\dfrac{3}{2} p_1 \left(V_2-V_1\right)+ p_1 \left(V_2-V_1\right)=\dfrac{5}{2} p_1 \left(V_2-V_1\right)=\dfrac{5}{2}A_{12}\] Процесс 1–3 адиабатный, значит, работа газа равна \[A_{13}=|\Delta U{13}|=|U_3-U_1|\] \[\dfrac{A_12}{A_13}=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{Q_{12}}{|U_3-U_1|}=\dfrac{2}{5}\cdot 5 =2\]
В тепловом двигателе 2 моль гелия совершают цикл 1–2–3–4–1, показанный на графике в координатах \(р—Т\), где\( р\) – давление газа,\( Т \) – абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.
1. КПД находится по формуле: \[\eta=\dfrac{A}{Q}\] где \(A\) – работа газа, \(Q\) – количество теплоты, полученное нагревателем.
2.Перерисуем данный график в координатах \(p-V\) 
3. Проанализируем график, цикл состоит из двух изохор, 1-2 и 3-4, и двух изобар, 2-3 и 4-1 (см. рисунок цикла в координатах p-V).
Согласно закону Шарля и условию, что \(2T_1=T_2\) \[\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2} \Rightarrow 2p_1=p_3=p_2\] Согласно закону Гей-Люссака и условию, что \(T_4=T_2=2T_1\) \[\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_4}{T_4} \Rightarrow V_3 = V_4 = 2V_1\] 4.Работа, совершённая газом за цикл, численно равна площади фигуры под графиком в координатах \(p-V\) \[A=(p_2-p_-1)(V_4-V_2)=p_1V_1\] 5. Газ получает положительное количество теплоты на участках 1–2 и 2–3 \[Q=Q_{12}+Q_{23}\] 6. По первому закону термодинамики количество теплоты, полученное телом в процессе 1–2 равно изменению внутренней энергии в этом процессе \[Q_{12}=\Delta U_{12} =\dfrac{3}{2} \left(\nu RT_2-\nu RT_1\right)=\dfrac{3}{2} \nu R T_1,\] Для процесса 2–3 первый закон термодинамики выглядит следующим образом \[Q_23=\Delta U_{23}+A_{23}=\dfrac{3}{2} \left(\nu RT_3-\nu RT_2\right)+p_2\left(V_3-V_2\right)\] С учетом уравнения Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu R T\] получим \[Q_{12}=\dfrac{3}{2}p_1V_1 \hspace{10 mm} Q_{23}=5p_1V_1\] 7. Тогда КПД равен \[\eta=\dfrac{pV_1}{\dfrac{3}{2}p_1V_1 +5p_1V_1 }\approx 15,4 \%\]
