Закон тяготения
Закон всемирного тяготения
Две материальные точки массами \(\displaystyle m\) и \(\displaystyle M\) притягиваются друг к
другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния \(\displaystyle R\) между ними. \[F=G\frac{mM}{R^2}\] Гравитационная постоянная — коэффициент пропорциональности
\[G=6,67\cdot10^{-11} \ \frac{ \text{Н}\cdot \text{м$^2$}}{\text{кг$^2$}}\]
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна 166,5 нН, а расстояние между ними равно 100 м. Какова будет сила притяжения (в нН) между этими шарами, если расстояние между их центрами станет равно 50 м?
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] Составим уравнения для каждого случая, описанного в задаче: \[\begin{cases}
F_{1}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{R_{1}^2}
\\
\\
F_{2}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{R_{2}^2}
\end{cases}\] Заметим, что массы тел по ходу задачи не изменялись. Поделим одно уравнение на другое: \[\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{R_{1}^2}{R_{2}^2} \Rightarrow F_{2}=\left(\dfrac{R_{1}}{R_{2}}\right)^2 F_{1} = 4 \cdot 166,5 = 666 \text{ нН}\]
У поверхности Земли сила тяготения, действующая на ракету, равна 8 кН. Чему равна гравитационная сила (в кН), действующая на ракету в тот момент, когда она преодолеет расстояние, равное одному радиусу Земли? Массу ракеты считать неизменной.
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] Пусть расстояние между ракетой и центром Земли в начале равно \(R_{1}\), а потом – \(R_{2}\). Заметим, что, если R – радиус Земли, то \({R_{1}=R}\), а \({R_{2}=2R}\). Таким образом, \[\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{2R}{R}=2\] Составим уравнения для каждого случая, описанного в задаче: \[\begin{cases}
F_{1}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{R_{1}^2}
\\
\\
F_{2}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{R_{2}^2}
\end{cases}\] Заметим, что массы тел по ходу задачи не изменялись. Поделим одно уравнение на другое: \[\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{R_{1}^2}{R_{2}^2} \Rightarrow F_{2}=\left(\dfrac{R_{1}}{R_{2}}\right)^2 F_{1} = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2\]
Две планеты одинаковой массы обращаются вокруг одной и той же звезды. Известно, что сила тяготения, действующая на ближайшую к звезде планету (планета 1), в 5 раз больше силы, с которой звезда действует на более удаленную планету (планету 2). Найдите отношение \(\dfrac{R_{1}}{R_{2}}\). (Ответ округлите до сотых).
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] Составим уравнения для каждого случая, описанного в задаче: \[\begin{cases}
F_{1}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{R_{1}^2}
\\
\\
F_{2}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{R_{2}^2}
\end{cases}\] Поделив одно уравнение на другое, получаем: \[\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{R_{1}^2}{R_{2}^2} \Rightarrow \dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\sqrt{\dfrac{F_{2}}{F_{1}}} \Rightarrow \frac{R_{1}}{R_{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}} \approx 0,45\]
Две звезды одинаковой массы m притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю F. Во сколько раз больше силы F модуль сил притяжения между другими двумя звёздами, если расстояние между их центрами такое же, как и в первом случае, а массы звёзд равны 2m и 3m?
Сила всемирного тяготения (гравитация): \[\displaystyle F_{\text{гр}}=G\frac{m_1m_2}{R^2}=G\frac{m\cdot m}{R^2}\] Так как массы звезд стали \(2m\) и \(3m\), то \[\displaystyle F_{\text{гр}}=G\frac{2m\cdot 3m}{R^2}=6\cdot G\frac{m\cdot m}{R^2}\] Следовательно, сила гравитации больше в 6 раз
Две звезды одинаковой массы притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю F. Во сколько раз уменьшится модуль сил притяжения между звёздами, если расстояние между их центрами увеличить в 1,5 раза, а масса каждой звезды уменьшить в 4 раза?
Сила всемирного тяготения (гравитация): \[\displaystyle F_{\text{гр}}=G\frac{m_1m_2}{R^2}=G\frac{m\cdot m}{R^2}\] Так как массы звезд стали \(\displaystyle \frac m4\), а расстояние \(1,5R\), то: \[\displaystyle F_{\text{гр}}=G\frac{\dfrac m4\cdot \dfrac m4}{2,25R^2}=\frac 1{36}\cdot G\frac{m\cdot m}{R^2}\] Следовательно, сила гравитации уменьшится в 36 раз
Два маленьких шарика с одинаковыми массами \(0,8m\), расстояние между которыми равно \(0,4r\), притягиваются друг к другу с гравитационными силами, равными по модулю \(F_1~=~0,7\) пН. Каков модуль сил гравитационного притяжения двух других шариков, если масса одного \(1,2m\), масса другого \(\dfrac{m}{8}\), а расстояние между их центрами \(\dfrac{r}{2}\)? Ответ выразить в пН.
По закону всемирного тяготения в первом случае: \[F_1=G\cdot\dfrac{0,8m\cdot0,8m}{(0,4r)^2}\] \[F_1=G\cdot\dfrac{4m}{r^2}\quad\] \[G\cdot\dfrac{m}{r^2}=\dfrac{F_1}{4}\quad(1)\] По закону всемирного тяготения во втором случае: \[F_2=G\cdot\dfrac{1,2m\cdot\dfrac{m}{8}}{\Big(\dfrac{r}{2}\Big)^2}\] \[F_2=0,6G\cdot\dfrac{m}{r^2}\] Подставив \((1)\), получим: \[F_2=0,6\cdot\dfrac{F_1}{4}=0,6\cdot\dfrac{0,7\text{ пН}}{4}=0,105\text{ пН}\]
Cила притяжения Земли к Солнцу в 21,5 раза больше, чем сила притяжения Марса к Солнцу. Найдите отношение массы Земли к массе Марса, если расстояние от Марса до Солнца в 1,5 раза больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Ответ округлить до тысячных.
По закону всемирного тяготения для Земли и Солнца: \[F_1=G\cdot\dfrac{m_{\text{Зем}}\cdot M_{\text{Солн}}}{r_1^2},\] где \(r_1\) – расстояние от Земли до Солнца.
По закону всемирного тяготения для Марса и Солнца: \[F_2=G\cdot\dfrac{m_{\text{Марс}}\cdot M_{\text{Солн}}}{r_2^2},\] где \(r_2\) – расстояние от Марса до Солнца.
Найдем \(\dfrac{F_1}{F_2}\): \[\dfrac{F_1}{F_2}=\dfrac{G\cdot\dfrac{m_{\text{Зем}}\cdot M_{\text{Солн}}}{r_1^2}}{G\cdot\dfrac{m_{\text{Марс}}\cdot M_{\text{Солн}}}{r_2^2}}=\dfrac{m_{\text{Зем}}\cdot r_2^2}{m_{\text{Марс}}\cdot r_1^2}\] По условию \(\dfrac{F_1}{F_2}=21,5\), а \(\dfrac{r_2}{r_1}=1,5\). Отсюда: \[21,5=\dfrac{m_{\text{Зем}}\cdot 1,5^2}{m_{\text{Марс}}}\] Выразим \(\dfrac{m_{\text{Зем}}}{m_{\text{Марс}}}\): \[\dfrac{m_{\text{Зем}}}{m_{\text{Марс}}}=\dfrac{21,5}{2,25}\approx9,556\]
