Закон тяготения (страница 2)
Закон всемирного тяготения
Две материальные точки массами \(\displaystyle m\) и \(\displaystyle M\) притягиваются друг к
другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния \(\displaystyle R\) между ними. \[F=G\frac{mM}{R^2}\] Гравитационная постоянная — коэффициент пропорциональности
\[G=6,67\cdot10^{-11} \ \frac{ \text{Н}\cdot \text{м$^2$}}{\text{кг$^2$}}\]
Две звезды с массами \(0,6m\) и \(0,7m\) притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю \(F\). Изначально расстояние между их центрами равно \(0,3r\). Во сколько раз увеличится модуль сил притяжения между звездами, если расстояние между их центрами уменьшить в 2 раза, а масса каждой звезды увеличить в 5 раз.
По закону всемирного тяготения для первой ситуации: \[F_1=G\cdot\dfrac{0,6m\cdot 0,7m}{(0,3r)^2}\] По закону всемирного тяготения для второй ситуации: \[F_2=G\cdot\dfrac{5\cdot0,6m\cdot5\cdot0,7m}{\Bigg(\dfrac{0,3r}{2}\Bigg)^2}\] Найдем \(\dfrac{F_2}{F_1}\): \[\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{G\cdot\dfrac{5\cdot0,6m\cdot5\cdot0,7m}{\Bigg(\dfrac{0,3r}{2}\Bigg)^2}}{G\cdot\dfrac{0,6m\cdot 0,7m}{(0,3r)^2}}=\dfrac{5\cdot5}{\Bigg(\dfrac{1}{2}\Bigg)^2}=100\]
На Земле на человека действует сила притяжения \(F=800\) Н. Какая сила будет действовать на этого же человека на Луне, если отношение ускорения свободного падения Луны и Земли равно \(\dfrac{g_{\text{л}}}{g_{\text{з}}} = 0,16\)? (Ответ дайте в Ньютонах)
Сила приятяжения человека к планете равна: \[F = mg\] где m – масса человека.
Запишем это уравнение для Земли и Луны соответственно: \[F_{\text{з}} = mg_{\text{з}}\] \[F_{\text{л}} = mg_{\text{л}}\] Поделив первое уравнение на втрое, получим: \[\frac{F_{\text{з}}}{F_{\text{л}}} = \frac{g_{\text{з}}}{g_{\text{л}}} \Rightarrow F_{\text{л}} = F_{\text{з}}\cdot \frac{g_{\text{л}}}{g_{\text{з}}}\] \[F_{\text{л}} = 800\text{ H}\cdot 0,16 = 128\text{ H }\]
Две звезды вращаются вокруг друг друга, сила притяжения между ними равна F. На сколько должно увеличиться расстояние между ними, чтобы сила притяжения осталась неизменной, если масса первой звезды увеличилась в 4 раза?
Сила притяжения между двумя телами равна: \[F=G\cdot\frac{M_1M_2}{R^2}\] где G – гравитационная постоянная, \(M_1\), \(M_2\) – массы тел, R - расстояние между этими телами.
Запишем уравнения до и после того, как изменили массу: \[F=
\begin{cases}
\dfrac{M_1M_2}{R_1^2}\\
\\
\dfrac{4M_1M_2}{R_2^2}
\end{cases}
\Rightarrow \dfrac{M_1M_2}{R_1^2} = \dfrac{4M_1M_2}{R_2^2}\] \[\frac{1}{R_1^2}=\frac{4}{R_2^2} \Rightarrow R_2 =\sqrt{R_1^2\cdot4} = 2R_1\]
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна 200 нН, а расстояние между ними равно 100 м. Какова будет сила притяжения (в нН) между этими шарами, если расстояние между их центрами увеличить в 2 раза
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] Составим уравнения для каждого случая, описанного в задаче: \[\begin{cases}
F_{1}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{R_{1}^2}
\\
\\
F_{2}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{4R_{1}^2}
\end{cases}\] Значит сила уменьшится в 4 раза и станет равной 50 нН.
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна \(F\). Во сколько увеличится сила притяжения между шарами, если один из них заменить на шар в три раза тяжелее, оставив расстояние между шарами неизменным.
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] где \(M_1\) и \(M_2\) – масса шаров, \(R\) – радиус между шарами. Так как масса одного из шаров увеличится в три, то и сила увеличится в три раза.
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна \(F\). Во сколько увеличится сила притяжения между шарами, если каждый из них заменить на шар в 4 раза тяжелее, оставив расстояние между шарами неизменным.
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] где \(M_1\) и \(M_2\) – масса шаров, \(R\) – радиус между шарами. Так как масса каждого из шаров увеличится в 4, то сила увеличится в 16 раз.
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна \(F=100\) Н. Какова будет сила притяжения между шарами, если массу одного из шаров увеличить 3 раза, а расстояние между шарами увеличить в 2 раза.
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] где \(M_1\) и \(M_2\) – масса шаров, \(R\) – радиус между шарами.
Во втором случае сила притяжения равна \[F_2=G\frac{3M_{1}M_{2}}{4R^{2}}=0,75F=75\text{ Н}\]
