Электромагнитная индукция

При изменении магнитного поля изменяется поток вектора магнитной индукции \(\text{ Ф}(t)=B(t)S\) через рамку площадью \(S=l^2\) что создаёт в ней ЭДС индукции В соответствии с законом индукции Фарадея: \[\varepsilon=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=-\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t} \cdot S\] Эта ЭДС вызывает в рамке ток, сила которого определяется законом Ома для замкнутой цепи \[I=\frac{\varepsilon}{R}=-\frac{1}{R} \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=-\frac{S}{R} \cdot \frac{\Delta B_{n}}{\Delta t}\] Согласно закону Джоуля – Ленца за время \(\Delta t\) в рамке выделится количество теплоты \[Q=I^{2} R \Delta t=\frac{S^{2}}{R} \cdot \frac{\left(\Delta B_{n}\right)^{2}}{\Delta t}=\frac{l^{4}}{R} \cdot \frac{\left(\Delta B_{n}\right)^{2}}{\Delta t}\] На первом участке графика \(\Delta t = t_1=4\) с и \(\Delta B =B_1-B_0=-1\) Тл на втором участке \(\Delta t_2=t_2-t_1=6\) с и \(\Delta B=B_2-B_1=0,6\) Тл, поэтому суммарное количество выделившейся теплоты \[Q=Q_{1}+Q_{2}=\frac{l^{4}}{R}\left[\frac{\left(\Delta B_{1}\right)^{2}}{\Delta t_{1}}+\frac{\left(\Delta B_{2}\right)^{2}}{\Delta t_{2}}\right]\] Подставляя сюда значения физических величин, получим: \[Q=\frac{(0,1 \text{ м}^{4}}{0,2 \text{ Ом}} \cdot\left[\frac{1 \text{ Тл}^{2}}{4 \text{ с}}+\frac{0,36 \text{ Тл}^{2}}{6 \text{ с}}\right]=0,155 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}\]

ЭДС: \[\xi = IR \quad (1)\] Кроме того ЭДС равна \[\xi =\left|\dfrac{\Delta \text{ Ф}}{\Delta t}\right|=\dfrac{B\Delta S }{\Delta t}=Bvl\quad (2)\] где \(\Delta S\) – изменение площади контура за время \(\Delta t\).
Приравняем (1) к (2) \[Bvl=IR \Rightarrow B=\dfrac{IR}{Bv}=\dfrac{60\text{ мА}\cdot 2\text{ Ом}}{1\text{ м/с}\cdot 300\text{ мм}}=0,4\text{ Тл}\]

При изменении магнитного потока в контуре будет появляться ЭДС индукции, следовательно, по контуру будет идти ток.
Направим вектор нормали контура (перпендикуляр) от нас сонаправленно с вектором магнитной индукции.
Магнитное поле уменьшается, следовательно: \(\Delta\text{Ф}<0\)
Закон Фарадея: \[\xi_i=-\frac{\Delta \text{Ф}}{\Delta t}\] где \(\Delta \text{ Ф}\) – изменение магнитного потока, \(\Delta t\) – время. Значит, ЭДС индукции положительна. По правилу правого винта (правой руки) ЭДС индукции направлена по часовой стрелке и ток направлен в этом же направлении. \[\xi=\frac{S(B-0)}{\tau}\] По закону Ома: \[I=\dfrac{\xi_i}{R}=\frac{SB}{R\tau}\] Сопротивление проводника: \[R=\rho P\] где \(P\) – периметр трапеции \[P=a+b+h+\sqrt{(b-a)^2+h^2}\] \[S=\frac{a+b}{2}h\] Следовательно, сила тока равна \[I=\frac{(a+b)hB}{2(a+b+h+\sqrt{(b-a)^2+h^2})\rho\tau}=76 \text{ мА}\] \(I=76 мА\), ток течет по часовой стрелке.

ЭДС индукции: \[\xi_i=-\frac{\Delta \text{Ф}}{\Delta t}=\dfrac{ N \Delta S B}{\Delta t},\quad(1)\] где \(\Delta \text{ Ф}\) – изменение магнитного потока, \(\Delta t\) – время, \(B\) – модуль вектора магнитной индукции, \(\Delta S\) – изменение площади. \[\xi=\frac{NBS(cos\alpha_1-cos\alpha_2)}{\Delta t}=\frac{NBS(1-0)}{\Delta t}=\frac{NBS}{\Delta t}\] \(N\) – количество витков , \(B\) – модуль вектора магнитной индукции, \(S\) – площадь. Из предыдущего уравнения площадь равна: \[S=\frac{\xi \Delta t}{NB}=\frac{0,6\text{ В}\cdot1\text{ с}}{100\cdot6\text{ Тл}}=10 \text{ см$^2$}\]

ЭДС индукции: \[\xi_i=-\frac{\Delta \text{Ф}}{\Delta t},\] где \(\Delta \text{ Ф}\) – изменение магнитного потока, \(\Delta t\) – время.
По закону Ома: \[\xi_i=IR=\frac{\Delta q}{\Delta t}R\] \(I\) – сила тока, \(R\) – сопротивление, \(\Delta q\) – заряд, протекший за время \(\Delta t\). \[\frac{\Delta q}{\Delta t}R=-\frac{\Delta \text{Ф}}{\Delta t}\] Для изменения заряда в первом и во втором случае имеем \[\Delta q_1=\Big|\frac{\Delta \text{Ф}}{R}\Big|=\Big|\frac{BScos\alpha_2-BScos\alpha_1}{R}\Big|\] \[\Delta q_2=\Big|\frac{\Delta \text{Ф}}{R}\Big|=\Big|\frac{BScos\alpha_3-BScos\alpha_1}{R}\Big|\] \(B\) – модуль вектора магнитной индукции, \(S\) – площадь контура, \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) – угол между нормалью к поверхности и вектором \(\vec{B}\) вначале опыта, в конце первого опыта и в конце второго опыта \(\alpha_1=0^{\circ}\), \(\alpha_2=180^{\circ}\), \(\alpha_3\) – неизвестный угол \[\frac{\Delta q_2}{\Delta q_1}=\frac{|cos\alpha_3-cos\alpha_1|}{|cos\alpha_2-cos\alpha_1|}=\frac{cos\alpha_3-1}{|-1-1|}=\frac{1-cos\alpha_3}{2}\] \[\frac{1}{4}=\frac{1-cos\alpha_3}{2}\] \[\frac{1}{2}=1-cos\alpha_3\] \[cos\alpha_3=\frac{1}{2}\] \[\alpha_3=60^{\circ}\]

В проводниках, находящихся в сверхпроводящем состоянии, суммарный магнитный поток через сверхпроводящий контур сохраняется \[\text{Ф}_{\text{внешн}}+LI=const\] \(L\) – индуктивность контура, \( I\) – сила тока, \(\text{Ф}_{\text{внешн}}\) – магнитный поток по внешней цепи \[\text{Ф}_1+0=\text{Ф}_2+LI\] Отсюда сила тока с учетом того, что \(\text{ Ф}=NBS \cos \alpha\), где \(B\) – модуль вектора магнитной индукции, \(S\) – площадь рамки,\(\alpha\) – угол между нормалью к поверхности и вектором \(\vec{B}\). \[I=\frac{\text{Ф}_1+0-\text{Ф}_2}{L}=\frac{NBS-NBS \cos\alpha}{L}=\frac{200\cdot60\cdot10^{-3}\text{ Тл}\cdot0,005\text{ м$^2$}(1-0,5)}{2\text{ Гн}}=15 \text{ мА}\]

ЭДС индукции, возникающее в контуре, при движении стержней равно \[|\xi| = \dfrac{\Delta \text{ Ф}}{\Delta t}=\dfrac{B \Delta S}{\Delta t}=Bvl, \quad (1)\] где \(\Delta\) Ф – изменение потока за время \(\Delta t\), \(v\) – скорость движения первого стержня, относительно второго, \(S\) – площадь контура.
При этом возникает сила тока равная \[I=\dfrac{|\xi|}{2R}\quad (2)\] На проводники будет действовать сила Ампера и сила трения, а на первый проводник еще и сила \(F\).
Для первого же проводника, с учетом равномерности движения, имеем \[IBl=\mu mg \Rightarrow I=\dfrac{\mu mg}{Bl}\quad (3)\] Приравняем (2) и (3) с учетом (1) и выразим относительную скорость движения \[v=\dfrac{2\mu mgR}{(Bl)^2}=\dfrac{2\cdot 0,2 \cdot 0,1\text{ кг}\cdot 0,5 \text{ Ом} }{(2\text{ Тл}\cdot 0,15\text{ м})^2}\approx 2\text{ м/с}\]