Метод электрических изображений —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31434

Точечный заряд $Q$ находится на расстоянии $h$ от бесконечной металлической плоскости. Какая сила действует на заряд со стороны плоскости?

Показать ответ и решение

Под действием электрического поля заряда $Q$ в пластине произойдет разделение зарядов. На ближайшей к заряду поверхности пластины образуется отрицательный поверхностный заряд $− Q$ (на этой поверхности заканчиваются все силовые линии поля, выходящие из заряда $Q$ ). Поэтому пластина притягивает заряд.

Чтобы определить силу взаимодействия между точечным зарядом и проводником, воспользуемся тем, что электростатическое поле не проникает через проводник. Поэтому нужно учитывать только силу взаимодействия между точечным зарядом $Q$ и поверхностным зарядом $− Q$ , наведенным на поверхности пластины. Следовательно, пластину можно заменить «металлическим» полупространством (см. область 1 на рис. а). Поле в этой области равно нулю, т. е. поля точечного и поверхностного зарядов в области 1 компенсируют друг друга. Это означает, что поле поверхностного заряда в области 1 совпадает с полем заряда - $Q$ , расположенного в той же точке, что и заряд $Q$ . Но поле поверхностного заряда симметрично относительно плоскости! Значит, в области 2 оно совпадает с полем точечного заряда $Q$ , расположенного симметрично заряду $Q$ относительно поверхности (см. рис. б). Поэтому на заряд $Q$ действует со стороны пластины точно такая же сила, как и со стороны воображаемого заряда - $Q$ , т. е.

-Q2--- ---Q2--- F = k (2h2) = 16 π𝜀0h2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31435

По одну сторону от незаряженной металлической плоскости на расстоянии $h$ от неё находятся два одинаковых заряда $Q$ . Определите силу, действующую на каждый из зарядов, если расстояние между ними $2h$ .

Показать ответ и решение

Под действием электрического поля заряда $Q$ в пластине произойдет разделение зарядов. На ближайшей к заряду поверхности пластины образуется отрицательный поверхностный заряд $− Q$ (на этой поверхности заканчиваются все силовые линии поля, выходящие из заряда $Q$ ). Поэтому пластина притягивает заряд.

Чтобы определить силу взаимодействия между точечным зарядом и проводником, воспользуемся тем, что электростатическое поле не проникает через проводник. Поэтому нужно учитывать только силу взаимодействия между точечным зарядом $Q$ и поверхностным зарядом $− Q$ , наведенным на поверхности пластины. Следовательно, пластину можно заменить «металлическим» полупространством (см. область 1 на рис. а). Поле в этой области равно нулю, т. е. поля точечного и поверхностного зарядов в области 1 компенсируют друг друга. Это означает, что поле поверхностного заряда в области 1 совпадает с полем заряда - $Q$ , расположенного в той же точке, что и заряд $Q$ . Но поле поверхностного заряда симметрично относительно плоскости! Значит, в области 2 оно совпадает с полем точечного заряда $Q$ , расположенного симметрично заряду $Q$ относительно поверхности (см. рис. б).

Тогда получится следующая система

Найдем силы Кулона $F⃗1$ , $⃗F2$ и $F⃗3$

2 2 2 F1 = k -Q---- F2 = k-Q---- F3 = k --Q√----- (2h)2 (2h )2 (2h 2)2

Тогда сумма силы $F1$ и $F2$ равна

∘ --------- kQ2 √ ----- kQ2 √ -- F12 = F12+ F 22 = ---2 1 + 1 = ---2 2 4h 4h

Силы $F3$ и $F12$ будут расположены под прямым углом, так как $F3$ направлена по диагонали квадрата, а $F 12$ направлена под углом 45 $∘$ к стороне квадрата из-за равенства модулей сил $F 1$ и $F2$

∘ --------- ∘ ------ ∘ -- 2 2 kQ2- 1- kQ2- 9- 3kQ2-- F = F 3 + F12 = 4h2 2 + 4 = 4h2 4 = 8h2 .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31436

Точечный заряд $Q$ находится на расстоянии $d$ от очень большой проводящей плоскости. В некоторый момент времени заряд перемещают на расстояние $2d$ вдоль плоскости (см. рисунок), причём так быстро, что за время перемещения заряда $Q$ заряды на плоскости не успели сместиться от своих первоначальных положений. Какое количество теплоты выделится в веществе плоскости в процессе установления равновесия?

Показать ответ и решение

Как известно, со стороны проводящей плоскости на точечный заряд $Q$ действует такая же сила, как со стороны точечного заряда $− Q$ , расположенного за плоскостью на таком же расстоянии, как и точечный заряд. Или (другими словами), на плоскости индуцируются такие заряды, поле которых совпадает с полем точечного заряда, расположенного за плоскостью на таком же расстоянии от него. А поскольку по условию в процессе перемещения точечного заряда $Q$ заряды на плоскости не успевают перераспределиться, то необходимо совершить такую же работу, как при перемещении точечного заряда $Q$ в поле покоящегося точечного заряда $− Q$ . А она, в свою очередь, равна изменению потенциальной энергии заряда $Q$ , перемещающегося из точки на расстоянии $2d$ от покоящегося заряда $− Q$ , в точку на расстоянии

√4d2-+--4d2-= √8d-

от этого заряда (см. рисунок). Поэтому необходимо совершить работу

( ) 2√ -- W = Q kQ--− √kQ-- = kQ----2√−-1 2d 8d d 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31437

Два металлических одинаковых полушара радиуса R расположены так, что между ними имеется очень небольшой зазор. Полушары заряжают зарядами - $Q$ и $3Q$ ( $Q > 0$ ). Найти напряжённость электрического поля в зазоре между полушарами.

Показать ответ и решение

Заряды распределяться по поверхности полушаров так, чтобы поле внутри них было равным нулю. Для этого (а) на сферических поверхностях должны разместиться одинаковые заряды, (б) на поверхностях плоских поверхностях разместиться одинаковым по величине и противоположным по знакам зарядам (см. рисунок). Из закона сохранения заряда, получаем для зарядов $q1$ и $q2$

( { q1 − q2 = − Q ( q1 + q − 2 = 3Q

Откуда находим

q1 = Q, q2 = 2Q

Поле в зазоре находим как поле двух плоскостей, заряженных равными по величине и противоположными по знаку зарядами

E = -q2-= -2Q--- S𝜀0 πR2 𝜀0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31438

В точке A, расположенной на расстоянии $r$ от центра O незаряженной проводящей сферы радиусом $R$ , находится точечный заряд $q$ . Сферу заземляют длинным тонким проводником. На сколько изменится (после заземления) потенциал $φ B$ точки B, являющейся вершиной равностороннего треугольника ABO?
(МОШ, 2016, 11 )

Показать ответ и решение

Потенциал в в точке B до заземления складывается из потенциала заряда $q$ и потенциала сферы в этой точке, так как на сфере из-за заряда появится нервномермерное распределение. Следовательно

φB = φ0 + φc

$φ0$ - потенцаил, создаваемый зарядом $q$ , $φc$ - потенциал, создаваемый сферой.
После заземления на сферу набежит заряд такой, чтобы потенциал сферы был равен 0, при этом, так как поле внутри проводника нулевое, то потенциал сферы равен потенциалу в центре сферы, при этом распределение набежавшего заряда равномерное, так как при этом конфигурация системы такая, какая она есть, а значит по теореме единстевенности это единственное распределение, то есть можем написать $kqr + kQR-= 0$
Следовательно: $R- Q = − r q$
Распишем потенциал в точке В после заземления:

′ kRq-- φB = φB − r2

Следовательно изменение потенциала:

Δ φ = − kRq-- B r2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31439

Распространено мнение, что тела с одноимёнными зарядами всегда отталкиваются друг от друга. Вовсе нет! Такой эффект наблюдается далеко не всегда. Представьте себе, что сплошной металлический шар радиуса R распилили пополам, а получившиеся половины сблизили плоскими сторонами так, что зазор d между ними оказался предельно мал (d $< <$ R). Найдите силу электростатического взаимодействия полушарий с одноимёнными зарядами $q1$ и $q2$ (рис.). При каком отношении зарядов они будут притягиваться? Примечание. Сила, действующая на единицу поверхности заряженного проводника произвольной формы, связана с напряжённостью электрического поля вблизи поверхности тем же соотношением, что и в плоском конденсаторе.
(Всеросс., 2006, финал, 10)

Показать ответ и решение

В пределе при малом зазоре суммарный заряд полушарий $Q = q1 + q2$ равномерно распределён по сферической поверхности. Заряды же на плоских поверхностях полушарий равны $q$ и $− q$ , причём

Q q1 − q2 q = q1 − -- = -------. 2 2

Можно считать, что эти поверхности образуют плоский конденсатор. В этом приближении напряженность электрического поля в зазоре между гранями

---q--- EC = 𝜀 ⋅ πR2 ,

а вблизи (снаружи) сферической поверхности

Q ER = ------2. 4π 𝜀0R

Заметные отклонения напряженности поля от приведенных выше величин будут наблюдаться только в малой окрестности у краев плоских поверхностей, но в пределе "нулевого"зазора они не скажутся на искомой силе взаимодействия.

Поле, создаваемое каждой из плоских поверхностей,

q EC1 = ------2, 2π𝜀0R

а сила, с которой они притягиваются,

2 FC = qEC1 = ---q---. 2π 𝜀0R2

Взаимодействие между зарядами на внешних поверхностях полусфер можно заменить эффективным давлением $p$ , действующим на них. Сила взаимодействия между зарядами, находящимися на внешних поверхностях полусфер, $F = Sp R$ , где $S = πR2$ , а давление