буфер (производная, №8) —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.00 буфер (производная, №8)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90612

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−19;3).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−17;−4].$

$011−3−4xyy13=9f′(x)$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

График производной функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс на отрезке $[−17;−4]$ сверху вниз два раза, поэтому на нем у функции $f(x)$ две точки максимума.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#19179

На рисунке изображён график $y = f (x)$ . На оси абсцисс отмечены точки $− 2, − 1, 1, 4$ . В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

$PIC$

Показать ответ и решение

Производная в точке равна угловому коэффициента касательной к графику функции в этой точке. Таким образом, понятно, что производная в точке $x = 4$ будет наибольшая.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38168

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x0.$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x0.$

$xy110x 0$

Показать ответ и решение

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона данной прямой.

По рисунку видно, что касательная к графику функции $f(x)$ проходит через точки $(1;2)$ и $(− 2;− 4).$

Если прямая проходит через точки $(x1;y1)$ и $(x2;y2),$ то тангенс угла её наклона равен

tgα = y1−-y2 x1− x2

Тогда мы можем вычислить производную функции $f(x)$ в точке $x0 :$

′ y1 − y2 2− (−4) 6 f(x0)= tg α= x1-− x2 = 1−-(−2) = 3 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38238

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ и отмечены точки $− 4; − 2; 2; 5.$ В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

$PIC$

Показать ответ и решение

На промежутках возрастания функции производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна, следовательно, нужно сравнить значение производной в точках на промежутках возрастания — в точках $x= −4$ и $x = 5$ .

Значение производной в $x = x0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке $x0$ , следовательно, среди положительных значений оно больше в той точке, где угол наклона касательной больше. Если провести касательные к данному графику в точках $x = −4$ и $x = 5$ , то угол наклона касательной в точке $x= 5$ будет больше, следовательно, и значение производной в этой точке будет больше.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#57984

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(−5;9).$ Найдите количество решений уравнения $f′(x) =0$ на отрезке $[−2;8].$

$xyy9−−5110 =56 f(x)$

Показать ответ и решение

Решением уравнения $f′(x)= 0$ является точка, в которой производная функции равна 0, то есть точка экстремума. По картинке видно, что на отрезке $[− 2;8]$ семь точек экстремума.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#58467

На рисунке изображён график функции $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−3;6).$ Найдите точку минимума функции $f(x).$

$xyy6−−4110 =34f′(x)$

Показать ответ и решение

Рассмотрим производную функции на интервале $(−3;5).$ На интервале $(−3;−1)$ производная принимает только отрицательные значения, на интервале $(−1;5)$ — только положительные значения. Значит, в точке $x= − 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, то есть точка $x =− 1$ — точка минимума.

Рассмотрим производную функции на интервале $(−1;6).$ На интервале $(−1;5)$ производная принимает только положительные значения, на интервале $(5;6)$ — только отрицательные. Значит, в точке $x = 5$ производная меняет знак с плюса на минус, то есть $x = 5$ — точка максимума.

Так как требуется найти точку минимума, то ответ $− 1.$

Ответ: -1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#58777

На рисунке изображен график производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−8;4).$ В какой точке отрезка $[−7;−3]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?

$′ xyy4−110 =8 f (x)$

Показать ответ и решение

На указанном отрезке производная положительна, то есть функция возрастает. Тогда наименьшее значение функция $f(x)$ принимает в левом конце отрезка в точке $x = −7.$

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#58778

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−8;3).$ В какой точке отрезка $[−3;2]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

$′ xyy3−110 =8 f (x)$

Показать ответ и решение

На отрезке $[− 3;2]$ производная неположительна, следовательно, функция убывает. Тогда наибольшее значение функция принимает в левом конце отрезка, то есть в точке $x= −3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#58798

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(−1;12).$ Определите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 0.

$xyy1−−51102=14 f(x)$

Показать ответ и решение

Производная функции равна 0 в точках, в которых касательная к графику функции горизонтальна, то есть в точках экстремума. Таких точек на графике всего 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76265

На рисунке изображен график функции $y = f′(x)$ — производной функции $y = f(x),$ определенной на промежутке $(− 1;5).$ Найдите угол наклона касательной к графику функции $y = f(x),$ проведенной в точке $x0 = 2.$ Ответ дайте в градусах.

$110xy$

Показать ответ и решение

Значение $f′(x0)$ производной в точке касания $x0$ равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке $x0.$ Из графика видно, что $′ ′ f (x0)= f (2) =1.$ Следовательно, $tgα =1.$ Тогда $∘ α =45 .$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#80084

Материальная точка движется прямолинейно по закону

3 15t2 x (t) = t − 2 + 18t+ 9,

где $x (t)$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите число секунд, в течение которых скорость тела была отрицательна.

Показать ответ и решение

Заметим, что по физическому смыслу производной скорость тела $v(t) = x′(t) :$

V (t) = x′(t) = 3t2 − 15t+ 18.

Найдём промежуток по $t,$ на котором скорость тела была отрицательна:

3t2 − 15t+ 18 < 0,

t2 − 5t+ 6 < 0,

t2 − 2t− 3t+ 6 < 0,

t(t− 2)− 3(t− 2) < 0,

(t− 3)(t− 2) < 0.

По методу интервалов получаем интервал $(2,3).$ Его длина $3− 2 = 1.$ То есть в течение ровно одной секунды скорость тела будет отрицательной.

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#83438

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−3;8).$ В какой точке отрезка $[−2;3]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?

$PIC$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

На отрезке $[− 2;3]$ производная $y =f′(x)$ неположительна, следовательно, функция $y = f(x)$ убывает. Значит, наименьшее значение функция принимает в конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#83751

На рисунке изображён график функции $y = f′(x)$ — производной функции $f(x).$ На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: $x1,x2,x3,x4,x5$ , $x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)?$

$xyy0xxxxxxxxxxxx=123456789101112f′(x)$

Показать ответ и решение

Производная функции положительна там, где функция возрастает. Следовательно, функция возрастает в точках, которые лежат выше оси $Ox :$ $x2,x3,x6,x7,x8,x9.$ Таких точек шесть.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#39631

Нормалью к графику функции в точке $x0$ называется прямая, проходящая через точку $(x0;f(x0))$ перпендикулярно касательной, проведенной к графику данной функции в точке $x0.$