Решение неравенств прошлых лет (страница 3)

Сделаем замену \(3^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} \dfrac{t^2 - 3t - 19}{t - 6} + \dfrac{9t^2 - 81t + 2}{t - 9}\leqslant 10t + 3 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} t\neq 6\\ t\neq 9 \end{cases} \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{t - 3}{(t - 9)(t - 6)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in(-\infty; 3]\cup(6; 9)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in(0; 3]\cup(6; 9)\)
в исходных переменных: \[x\in(-\infty; 1]\cup(\log_3 6; 2).\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} (x^2 - 8x + 17)^2 > 0\\ (x^2 - 8x + 17)^2 \neq 1\\ 3x^2 + 5 > 0\\ x^2 - 8x + 17 > 0\\ x^2 - 8x + 17 \neq 1\\ 2x^2 + 7x + 5 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(-\infty; -2,5)\cup(-1; 4)\cup(4; +\infty) \end{aligned}\]

Заметим, что \[x^2 - 8x + 17 = (x - 4)^2 + 1\geqslant 1,\] причём на ОДЗ выполнено \((x - 4)^2 + 1 > 1\), тогда

\[\begin{aligned} &2\log_{(x^2 - 8x + 17)^2}(3x^2 + 5)\leqslant \log_{x^2 - 8x + 17}(2x^2 + 7x + 5)\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\log_{x^2 - 8x + 17}(3x^2 + 5)\leqslant \log_{x^2 - 8x + 17}(2x^2 + 7x + 5)\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &3x^2 + 5\leqslant 2x^2 + 7x + 5\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 7x \leqslant 0, \end{aligned}\]

откуда \(x\in[0; 7]\)
пересечём ответ с ОДЗ: \[x\in[0; 4)\cup(4; 7]\] – итоговый ответ к задаче.

Сделаем замену \(2^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t^3 - 3t^2 + \dfrac{9t^2 - 288}{t - 9}\leqslant 32 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} t\neq 9 \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{t^4 - 12t^3 + 36t^2 - 32t}{t - 9}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t\cdot\dfrac{t^3 - 12t^2 + 36t - 32}{t - 9}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Разложим многочлен третьей степени в числителе левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень \(t = 2\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3-12t^2+36t-32&&\negthickspace\underline{\qquad t-2 \qquad}\\ \underline{t^3-\ \, 2t^2} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \ t^2 - 10t + 16\\[-3pt] -10t^2 + 36t\,\phantom{0000}&&\\ \underline{-10t^2 + 20t\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 16t - 32\! &&\\ \underline{16t - 32\! }&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] тогда последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{t(t - 2)^2(t - 8)}{t - 9}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in(-\infty; 0]\cup\{2\}\cup[8; 9)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in\{2\}\cup[8; 9)\)
в исходных переменных: \[x\in\{1\}\cup[3; \log_2 9)\]

Сделаем замену \(5^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} \dfrac{t^2 - 25t + 26}{t - 1} + \dfrac{t^2 - 7t + 1}{t - 7}\leqslant 2t - 24 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} t\neq 1\\ t\neq 7 \end{cases} \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{3t - 15}{(t - 1)(t - 7)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in(-\infty; 1)\cup[5; 7)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in(0; 1)\cup[5; 7)\)
в исходных переменных: \[x\in(-\infty; 0)\cup[1;\log_5 7).\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 - 4x + 5 > 0\\ x^2 - 4x + 5 \neq 1\\ 3x - 5 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in\left(\dfrac{5}{3}; 2\right)\cup(2; +\infty) \end{aligned}\]

По методу рационализации на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &(4x - 7)(x^2 - 4x + 5 - 1)(3x - 5 - 1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad & (4x - 7)(x^2 - 4x + 4)(3x - 6)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (4x - 7)(x - 2)^3\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда с учётом ОДЗ: \[x\in \left(\dfrac{5}{3}; \dfrac{7}{4}\right]\cup(2; +\infty)\,.\]

ОДЗ: \[x > 0.\] Сделаем замену \(y = \lg x\), тогда \[\dfrac{5y^2-1}{y^2-1}\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{5y^2-1 - (y^2 - 1)}{y^2-1}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{4y^2}{y^2-1}\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; -1)\cup\{0\}\cup(1; +\infty)\).
\(\lg x \in (-\infty; -1)\cup\{0\}\cup(1; +\infty)\), что можно представить в виде
\[\lg x < -1\qquad\text{или}\qquad\lg x = 0\qquad\text{или}\qquad\lg x > 1.\]

Решим первое неравенство: \[\lg x < -1.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[x < 0,1.\]

Решим второе уравнение: \[\lg x = 0.\] Это уравнение на ОДЗ равносильно: \[x = 1.\]

Решим третье неравенство: \[\lg x > 1.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно:
\[x > 10.\] Объединенное решение двух неравенств и уравнения: \(x\in(-\infty; 0,1)\cup\{1\}\cup(10; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in (0; 0,1)\cup\{1\}\cup(10; +\infty).\]

ОДЗ: \[25 - x^2 > 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in (-5; 5).\] Сделаем замену \(y = \log_5(25 - x^2)\), тогда \[y^2 -3y + 2\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)\).
\(\log_5(25 - x^2) \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_5(25 - x^2) \leqslant 1\) или \(\log_5(25 - x^2)\geqslant 2\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_5(25 - x^2) \leqslant 1.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[25 - x^2 \leqslant 5\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \geqslant 20\quad\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty; -2\sqrt{5}]\cup[2\sqrt{5}; +\infty).\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_5(25 - x^2) \geqslant 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[25 - x^2 \geqslant 25\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x = 0.\]

Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; -2\sqrt{5}]\cup\{0\}\cup[2\sqrt{5}; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-5; -2\sqrt{5}]\cup\{0\}\cup[2\sqrt{5}; 5).\]