Решение неравенств прошлых лет (страница 4)

ОДЗ: \[64 - x^2 > 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in (-8; 8).\] Сделаем замену \(y = \log_4(64 - x^2)\), тогда \[y^2 -5y + 6\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)\).
\(\log_4(64 - x^2) \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_4(64 - x^2) \leqslant 2\) или \(\log_4(64 - x^2)\geqslant 3\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_4(64 - x^2) \leqslant 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[64 - x^2 \leqslant 16\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \geqslant 48\quad\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty; -4\sqrt{3}]\cup[4\sqrt{3}; +\infty)\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_4(64 - x^2) \geqslant 3.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[64 - x^2 \geqslant 64\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\] Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-8; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; 8).\]

ОДЗ: \[4 + 3x - x^2 > 0.\] При помощи метода интервалов находим, что ОДЗ: \[x\in (-1; 4).\] По свойству логарифма \[\log^2_{2}(4+3x-x^2)-7\log_{2}(4+3x-x^2)+10>0.\] Сделаем замену \(y = \log_{2}(4+3x-x^2)\), тогда \[y^2 -7y + 10 > 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)\).
\(\log_{2}(4+3x-x^2) \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_{2}(4+3x-x^2) < 2\) или \(\log_{2}(4+3x-x^2) > 5\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_{2}(4+3x-x^2) < 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[4+3x-x^2 < 4\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 3x > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(-\infty; 0)\cup(3; +\infty).\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_{2}(4+3x-x^2) > 5\ \,\Leftrightarrow\ \, 4+3x-x^2 > 32\ \,\Leftrightarrow\ \, x^2 - 3x + 28 < 0\ \,\Leftrightarrow\ \, x \in \varnothing.\] Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; 0)\cup(3; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-1; 0)\cup(3; 4).\]

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{aligned} &\dfrac{x^2}4-\dfrac{16}{x^2}>0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4-64}{4x^2}>0 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &\dfrac{(x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2)(x^2+8)}{x^2}>0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)\end{aligned}\]

На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\begin{aligned} &\dfrac{x^2}4-\dfrac{16}{x^2}\leqslant 3\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4-12x^2-64}{4x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+4)(x^2-16)}{4x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{(x^2+4)(x-4)(x+4)}{4x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-4;0)\cup(0;4] \end{aligned}\]

Пересекая полученное решение с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \(x\in [-4;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;4].\)

2) Второе неравенство.
По формуле разности кубов \((x-5)^3-1=(x-5-1)((x-5)^2+x-5+1)=(x-6)(x^2-9x+21)\). Следовательно, знаменатель можно разложить на множители \((x-6)^2+(x-6)(x^2-9x+21)=(x-6)(x^2-8x+15)=(x-6)(x-3)(x-5)\).

Тогда все неравенство, разложив и числитель на множители, можно переписать в виде \[\dfrac{(2x-7)(x+4)}{(x-6)(x-3)(x-5)}\leqslant 0\] Решив полученное неравенство методом интервалов, получим \[x\in (-\infty;-4]\cup\left(3;\frac72\right]\cup(5;6).\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим \(x\in \{-4\}\cup\left(3;\frac72\right]\)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство перепишем в виде \[\dfrac{16^x}{16^{\frac54}}-3\cdot \dfrac{4^x}{4^{\frac32}}+1\geqslant 0\] Заметим, что \(16^{\frac54}=\left(2^4\right)^{\frac54}=2^5\), а \(4^{\frac32}=\left(2^2\right)^{\frac32}=2^3\). Сделаем замену \(4^x=t>0\): \[\dfrac{t^2}{2^5}-3\dfrac{t}{2^3}+1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-12t+32\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-4)(t-8)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;4]\cup[8;+\infty).\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &4^x\leqslant 4\\ &4^x\geqslant 8 \end{aligned} \end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 1\\ &x\geqslant \frac32\end{aligned} \end{gathered}\right.\]

2) Второе неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно \[\begin{cases} \dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}\leqslant 2\\[2ex] \dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}>0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{2x^2-x-3}{3x-2}\leqslant 0\\[2ex] \dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}>0 \end{cases}\] Решая каждое неравенство методом интервалов, получим ответ для первого: \(x\in (-\infty;-1]\cup\left(\frac23;\frac32\right]\) и для второго: \(x\in \left(-\frac72;\frac23\right)\cup(1;+\infty)\). Пересекая эти решения, получим \(x\in \left(-\frac72;-1\right]\cup\left(1;\frac32\right]\).

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим \(x\in\left(-\frac72;-1\right]\cup\left\{\frac32\right\}\).

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Сделаем замену \(4^x=t>0\), тогда неравенство примет вид \[19t+\dfrac1t\leqslant 20\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{19t^2-20t+1}t\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(19t-1)(t-1)}t\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(t\in (-\infty;0)\cup\left[\frac1{19};1\right]\). Учитывая, что \(t>0\), получаем \(t\in \left[\frac1{19};1\right]\). Сделаем обратную замену: \[\dfrac1{19}\leqslant 4^x\leqslant 1 \quad \Leftrightarrow\quad 4^{\log_4{\frac1{19}}}\leqslant 4^x\leqslant 4^{0} \quad\Leftrightarrow\quad \log_4{\frac1{19}}\leqslant x\leqslant 0.\]

2) Второе неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} x+3>0\\ x+3\ne 1\\ 7-2x>0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-3;-2)\cup\left(-2;\frac72\right).\]

На ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно \[x(x+3-1)(7-2x-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x(x+2)(x-3)\leqslant 0\] Решая его методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-2]\cup[0;3]\). Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим \(x\in (-3;-2)\cup[0;3]\).

3) Заметим, что \(\log_4{\frac1{19}}=-\log_419\), следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим \(x\in \left[-\log_419;-2\right)\cup\{0\}.\)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} 11-x>0\\ 11-x\ne 1\\ x+7>0\\ x+5>0\\ x+5\ne 1\\ 9-x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-5;-4)\cup(-4;9).\]

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно \[(11-x-1)(x+7-1)(x+5-1)(9-x-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-10)(x+6)(x+4)(x-8)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in [-6;-4]\cup[8;10].\)

Пересечем с ОДЗ и получим \(x\in (-5;-4)\cup[8;9)\).

2) Второе неравенство. Заметим, что \(0,125=\frac18=8^{-1}\). Тогда неравенство можно переписать как \[8^{2x^2-6x+40}-\left(8^{-1}\right)^{2x^2-6x-200}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad 8^{2x^2-6x+40}\leqslant 8^{-2x^2+6x+200}\] Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно \[2x^2-6x+40\leqslant -2x^2+6x+200\quad\Leftrightarrow\quad x^2-3x-40\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+5)(x-8)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-5;8]\]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: \(x\in (-5;-4)\cup\{8\}.\)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство можно переписать в виде \[6^{2x-1}-7\cdot 6^{x-1}+1\geqslant 0\] Сделаем замену \(6^x=t>0\), тогда неравенство примет вид: \[\dfrac{t^2}6-\dfrac{7t}6+1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-7t+6\geqslant 0\] Решим уравнение \(t^2-7t+6=0\). Его корнями будут \(t_1=1\) и \(t_2=6\). Следовательно, \(t^2-7t+6=(t-1)(t-6)\). Значит, неравенство примет вид \[(t-1)(t-6)\geqslant 0\] Решив его методом интервалов, получим \(t\in (-\infty;1]\cup[6;+\infty).\) Теперь сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &6^x\leqslant 1\\ &6^x\geqslant 6\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 0\\ &x\geqslant 1\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty).\]

2) Второе неравенство. Выпишем его ОДЗ: \[5-3x-x^2>0 \quad \Leftrightarrow\quad x^2+3x-5<0 \quad \Leftrightarrow\quad x\in\left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}2;\dfrac{-3+\sqrt{29}}2\right).\] Тогда на ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно \[x(4-1)(5-3x-x^2-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x(x^2+3x-4)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x(x-1)(x+4)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-4]\cup[0;1]\).
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательное решение второго неравенства \(x\in \left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}2;-4\right]\cup[0;1].\)

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим \(x\in \left(-\frac12(\sqrt{29}+3);-4\right]\cup\{0;1\}.\)