Решение неравенств прошлых лет (страница 5)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство можно переписать в виде \[6^{2x-1}-7\cdot 6^{x-1}+1\geqslant 0\] Сделаем замену \(6^x=t>0\), тогда неравенство примет вид: \[\dfrac{t^2}6-\dfrac{7t}6+1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-7t+6\geqslant 0\] Решим уравнение \(t^2-7t+6=0\). Его корнями будут \(t_1=1\) и \(t_2=6\). Следовательно, \(t^2-7t+6=(t-1)(t-6)\). Значит, неравенство примет вид \[(t-1)(t-6)\geqslant 0\] Решив его методом интервалов, получим \(t\in (-\infty;1]\cup[6;+\infty).\) Теперь сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &6^x\leqslant 1\\ &6^x\geqslant 6\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 0\\ &x\geqslant 1\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty).\]

2) Второе неравенство. Выпишем его ОДЗ: \[5-3x-x^2>0 \quad \Leftrightarrow\quad x^2+3x-5<0 \quad \Leftrightarrow\quad x\in\left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}2;\dfrac{-3+\sqrt{29}}2\right).\] Тогда на ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно \[x(4-1)(5-3x-x^2-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x(x^2+3x-4)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x(x-1)(x+4)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-4]\cup[0;1]\).
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательное решение второго неравенства \(x\in \left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}2;-4\right]\cup[0;1].\)

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим \(x\in \left(-\frac12(\sqrt{29}+3);-4\right]\cup\{0;1\}.\)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 5-x>0\\ 5-x\ne 1\\ \dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<5\\ x\ne 4\\ x\in (-4;5)\cup(5;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;4)\cup(4;5)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{5-x}\dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}+\log_{5-x}(5-x)^{10}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \log_{5-x}\dfrac{(x+4)(5-x)^{10}}{(x-5)^{10}}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{5-x}(x+4)\geqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(5-x-1)(x+4-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;4]\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in [-3;4).\]

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю \[\begin{aligned} &\dfrac{x^4+8x^3-7x^3-56x^2+50x^2+x-7-x+7}{x-7}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{x^2(x+3)(x-2)}{x-7}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-3]\cup\{0\}\cup[2;7).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in \{-3;0\}\cup[2;4).\)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 3-x>0\\ 3-x\ne 1\\ \dfrac{x+4}{(x-3)^2}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<3\\ x\ne 2\\ x\in (-4;3)\cup(3;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;2)\cup(2;3)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{3-x}(x+4)-\log_{3-x}(x-3)^2+2\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3-x}(x+4)-\log_{3-x}(3-x)^2+2\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3-x}(x+4)\geqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(3-x-1)(x+4-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;2]\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in [-3;2)\]

2) Второе неравенство равносильно: \[\dfrac{x^4+6x^3-4x^3-24x^2+21x^2+3x-12-3x+12}{x-4}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4+2x^3-3x^2}{x-4}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^2(x+3)(x-1)}{x-4}\leqslant 0\] Решая его методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-3]\cup\{0\}\cup[1;4).\)

3) Пересечем решения обоих неравенств, получим \(x\in\{-3;0\}\cup \left[1;2\right)\).

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ 16-x^2>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;3)\cup(3;4).\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{4-x}(16-x^2)-\log_{4-x}(4-x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}\dfrac{(4-x)(4+x)}{4-x}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}(4+x)\leqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(4-x-1)(x+4-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-3]\cup[3;+\infty)\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in (-4;-3]\cup(3;4).\]

2) Второе неравенство: \[\dfrac{2x^3+x^2+2x^2+x-4x-2-21x-39+x-1}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2x^3+3x^2-23x-42}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0\] Подбором находим, что \(x=-2\) является корнем многочлена \(2x^3+3x^2-23x-42\). Выполнив деление в столбик \(2x^3+3x^2-23x-42\) на \(x+2\), получим: \(2x^3+3x^2-23x-42=(x+2)(2x^2-x-21)=(x+2)(x+3)(2x-7)\).

Следовательно, неравенство равносильно \[\dfrac{(x+2)(x+3)(2x-7)}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0,\] решая которое методом интервалов, получим ответ \(x\in [-3;-2)\cup(-2;1)\cup[3,5;+\infty).\)

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in \{-3\}\cup[3,5;4).\)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ \dfrac{(x-4)^8}{x+5}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<4\\ x\ne 3\\ x\in (-5;4)\cup(4;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-5;3)\cup(3;4)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{4-x}(x-4)^8-\log_{4-x}(x+5)-8\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}(4-x)^8-\log_{4-x}(x+5)-8\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}(x+5)\leqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(4-x-1)(x+5-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-4]\cup[3;+\infty)\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in (-5;-4]\cup(3;4).\]

2) Второе неравенство: \[\begin{aligned} &\dfrac{x^3-3x^2-5x-6x^2+18x+30+x^3-6x^2+3x-4x^2+24x-12-2x^3+20x^2-48x-x^2+10x-24}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{2x-6}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;3]\cup(4;6).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in (-5;-4].\)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 2-x>0\\ 2-x\ne 1\\ \dfrac{-1-x}{x-2}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<2\\ x\ne 1\\ x\in (-1;2) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-1;1)\cup(1;2)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{2-x}\dfrac{-1-x}{x-2}+\log_{2-x}(2-x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{2-x}\dfrac{(-1-x)(2-x)}{x-2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{2-x}(x+1)\leqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(2-x-1)(x+1-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty)\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in (-1;0]\cup(1;2).\]

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю \[\begin{aligned} &\dfrac{x^3-8x^2+6x-5x^2+40x-30+8x^2-37x-8x+37-x^3+5x^2+x-5}{(x-1)(x-5)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{2x+2}{(x-1)(x-5)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-1]\cup(1;5).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in (1;2).\)

ОДЗ:

\[\begin{cases} 2x^2-7x+6 \geqslant 0\\ \sqrt{2x^2-7x+6} > 0\\ \sqrt{2x^2-7x+6} \neq 1\\ \dfrac{x}{3} > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (0; 1)\cup(1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(2,5; +\infty).\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно: \[(\sqrt{2x^2-7x+6} - 1)\left(\dfrac{x}{3} - 1\right) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{2x^2-7x+6} - 1)(x - 3) > 0.\] По методу интервалов:



откуда \(x \in(1; 1,5]\cup[2; 2,5)\cup(3; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in(1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(3; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in(1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(3; +\infty).\]