Кубические уравнения (страница 2)
Кубическое уравнение – уравнение вида \[{\large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},\]
где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.
Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\).
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\), где \(m, n\) – некоторые числа.
\({\color{red}{I.}}\) Кубические уравнения вида \[x^3=a\]
для любого числа \(a\) имеют единственный корень
\[x=\sqrt[3]a\]
Пример.
Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]{-8}=-2\).
\({\color{red}{II.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.
Пример.
Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\).
Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]
Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\).
В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:
\[\begin{aligned} &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end{aligned}\]
\({\color{red}{III.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.
Для этого можно использовать следующие утверждения:
\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\), то корнем уравнения является число \(1\).
\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\), то корнем уравнения является число \(-1\).
\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\) – \({\color{blue}{\text{целые}}}\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large{\dfrac{p}{q}}\), то для него будет выполнено:
\(d\) делится нацело на \(p\); \(a\) делится нацело на \(q\).
Пример.
1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\), значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.
2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\), значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.
3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\); делители старшего коэффициента \(2\): \(\pm1, \pm2\). Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]
Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):
\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]
Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\).
Найдите больший корень уравнения \(x^3+9x^2+27x+27=0\).
Заметим, что левая часть представляет из себя куб суммы: \[x^3+3\cdot x^2\cdot 3+3\cdot x\cdot3^2+3^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-3.\]
Найдите неположительный корень уравнения \(x^3+4x^2-3x-18=0\).
Попробуем подобрать рациональный корень \(\frac pq\). Тогда \(p\) – делитель \(18\), а \(q\) – делитель \(1\). Следовательно, возможные варианты корней: \[\pm1; \quad\pm2;\quad \pm3; \quad\pm6;\quad \pm 9;\quad\pm 18.\] Подбором находим, что \(x=2\) является корнем: \[2^3+4\cdot 2^2-3\cdot 2-18=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0.\] Выполним деление в столбик \(x^3+4x^2-3x-18\) на \(x-2\): \[\begin{array}{rr|l} x^3+4x^2-\;3x-18&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^3-2x^2} \,\phantom{000000000}&&\negthickspace \quad x^2+6x+9\\[-3pt] 6x^2-\;3x\phantom{0000}&&\\ \underline{6x^2-12x}\,\phantom{000}&&\\[-3pt] 9x-18&&\\ \underline{9x-18}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение перепишется в виде:\[(x-2)(x^2+6x+9)=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-2)(x+3)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=2; \quad x_2=-3.\] Неположительный корень уравнения – это \(x=-3\).
Найдите корни уравнения \(x^3 - 2x^2 - 16x + 32 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Выражение в левой части можно разложить на множители: \[x^3 - 2x^2 - 16x + 32 = x^2(x - 2) - 16(x - 2) = (x - 2)(x^2 - 16) = (x - 2)(x - 4)(x + 4).\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: \(x_1 = 2, \ x_2 = 4, \ x_3 = -4\) – подходят по ОДЗ. Больший корень \(x = 4\).
Найдите корни уравнения \(3x^3 + 9x^2 + x + 3 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Выражение в левой части можно разложить на множители:
\[3x^3 + 9x^2 + x + 3 = 3x^2(x + 3) + 1 \cdot (x + 3) = (x + 3)(3x^2 + 1).\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корень уравнения: \(x = -3\) – подходит по ОДЗ.
Дискриминант уравнения \(3x^2 + 1 = 0\) отрицательный: \(D = 0 - 4\cdot 3\cdot 1 = -12\), следовательно, других корней нет.
Найдите корни уравнения \(2x^3 - 7x^2 + 4x - 14 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Выражение в левой части можно разложить на множители:
\[2x^3 - 7x^2 + 4x - 14 = x^2(2x - 7) + 2(2x - 7) = (2x - 7)(x^2 + 2).\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корень уравнения: \(x = 3,5\) – подходит по ОДЗ.
Дискриминант уравнения \(x^2 + 2 = 0\) отрицательный: \(D = 0 - 4\cdot 1\cdot 2 = -8\), следовательно, других корней нет.
Найдите корни уравнения \(-x^3 - 5x^2 + 4x + 20 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше \(-10\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Выражение в левой части можно разложить на множители:
\[-x^3 - 5x^2 + 4x + 20 = -x^2(x + 5) + 4(x + 5) = (x + 5)(-x^2 + 4) = (x + 5)(2 - x)(2 + x).\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: \(x_1 = -5, \ x_2 = 2, \ x_3 = -2\) – подходят по ОДЗ. Все они больше, чем \(-10\). Их сумма равна \(-5\).
Найдите корни уравнения \(3x^3 - 0,75x - 3x^2 + 0,75 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше \(-1\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Выражение в левой части можно разложить на множители:
\(3x^3 - 0,75x - 3x^2 + 0,75 = 3(x^3 - 0,25x - x^2 + 0,25) = 3(x(x^2 - 0,25) - (x^2 - 0,25)) =\)
\(=3(x^2 - 0,25)(x - 1) = 3(x - 1)(x - 0,5)(x + 0,5).\)
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: \(x_1 = 1, \ x_2 = 0,5, \ x_3 = -0,5\) – подходят по ОДЗ. Все они больше, чем \(-1\). Их сумма равна \(1\).
