Кубические уравнения (страница 3)
Кубическое уравнение – уравнение вида \[{\large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},\]
где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.
Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\).
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\), где \(m, n\) – некоторые числа.
\({\color{red}{I.}}\) Кубические уравнения вида \[x^3=a\]
для любого числа \(a\) имеют единственный корень
\[x=\sqrt[3]a\]
Пример.
Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]{-8}=-2\).
\({\color{red}{II.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.
Пример.
Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\).
Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]
Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\).
В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:
\[\begin{aligned} &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end{aligned}\]
\({\color{red}{III.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.
Для этого можно использовать следующие утверждения:
\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\), то корнем уравнения является число \(1\).
\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\), то корнем уравнения является число \(-1\).
\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\) – \({\color{blue}{\text{целые}}}\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large{\dfrac{p}{q}}\), то для него будет выполнено:
\(d\) делится нацело на \(p\); \(a\) делится нацело на \(q\).
Пример.
1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\), значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.
2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\), значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.
3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\); делители старшего коэффициента \(2\): \(\pm1, \pm2\). Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]
Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):
\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]
Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\).
Найдите корни уравнения \(x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Можно угадать один из корней \(x = 1\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x - 1)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3+5x^2+3x-9&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3-\ x^2\,} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 + 6x + 9\\[-3pt] 6x^2 + 3x\,\phantom{000}&&\\ \underline{6x^2 - 6x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 9x - 9&&\\ \underline{9x - 9}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] тогда \[x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x^2 + 6x + 9)(x - 1) = (x + 3)^2(x + 1).\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: \(x_1 = -3, \ x_2 = 1\) – подходят по ОДЗ. Меньший из них \(x = -3\).
Найдите корни уравнения \(x^3 - 21x^2 + 111x - 91 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Можно угадать один из корней \(x = 1\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x - 1)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3-21x^2+111x-91&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3\, -\ \ \ x^2} \phantom{00000000000}&&\negthickspace \ x^2 -20x + 91\\[-3pt] -20x^2 + 111x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{-20x^2 +\ 20x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 91x - 91&&\\ \underline{91x - 91}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]
тогда \[x^3 - 21x^2 + 111x - 91 = (x - 1)(x^2 - 20x + 91).\] Второй множитель также можно разложить в произведение линейных. Для этого находим корни уравнения \(x^2 - 20x + 91 = 0\). Его корни \(x_1 = 7, \ x_2 = 13\). Теперь разложение принимает окончательный вид:
\[x^3 - 21x^2 + 111x - 91 = (x^2 - 20x + 91)(x - 1) = (x - 7)(x - 13)(x - 1).\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \(x_1 = 13, \ x_2 = 7, \ x_3 = 1\) – подходят по ОДЗ. Больший из них \(x = 13\).
Найдите корни уравнения \(x^3 + 9x^2 + 33x + 38 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Можно угадать один из корней \(x = -2\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x - (-2)) = (x + 2)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3+9x^2+33x+38&&\negthickspace\underline{\qquad x+2 \qquad}\\ \underline{x^3 + 2x^2} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \ x^2 +7x + 19\\[-3pt] 7x^2 + 33x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{7x^2 + 14x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 19x + 38&&\\ \underline{19x + 38}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]
тогда \[x^3 + 9x^2 + 33x + 38 = (x^2 + 7x + 19)(x + 2).\]
Рассмотрим отдельно уравнение \[x^2 + 7x + 19 = 0.\] Его дискриминант \(D = 49 - 4~\cdot~19 < 0\), значит у рассматриваемого уравнения нет корней. Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим единственный корень исходного уравнения: \(x = -2\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корни уравнения \(x^3 - 3x - 2 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите наибольший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Можно угадать один из корней \(x = 2\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x - 2)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3+0\cdot x^2-3x-2&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^3 -\ \, 2x^2\,} \phantom{00000000}&&\negthickspace \ \,x^2 +2x + 1\\[-3pt] 2x^2 - 3x\,\phantom{000}&&\\ \underline{2x^2 - 4x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] x - 2&&\\ \underline{x - 2}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]
тогда \[x^3 - 3x - 2 = (x^2 + 2x + 1)(x - 2) = (x + 1)^2(x - 2).\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \(x_1 = 2, \ x_2 = -1\) – подходят по ОДЗ. Наибольший из них \(x = 2\).
Найдите корни уравнения \(x^3 - 27x - 54 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Можно угадать один из корней \(x = -3\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x + 3)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3+0\cdot x^2-27x-54&&\negthickspace\underline{\qquad x+3 \qquad}\\ \underline{x^3 +\ \, 3x^2\,} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \ \,x^2 -3x - 18\\[-3pt] -3x^2 - 27x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{-3x^2 -\ 9x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] -18x - 54&&\\ \underline{-18x - 54}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]
тогда \[x^3 - 27x - 54 = (x^2 - 3x - 18)(x + 3).\] Выражение \(x^2 - 3x - 18\) можно разложить на множители, найдя корни уравнения \(x^2 - 3x - 18 = 0\). Корни \(x_1 = 6,\ x_2 = -3\), тогда окончательно \[x^3 - 27x - 54 = (x - 6)(x + 3)^2\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \(x_1 = 6, \ x_2 = -3\) – подходят по ОДЗ. Меньший из них \(x = -3\).
Найдите корни уравнения \(2x^3 - 11x^2 + 8x + 21 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше \(0\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Можно угадать один из корней \(x = -1\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x + 1)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} 2x^3-11x^2+8x+21&&\negthickspace\underline{\qquad x+1 \qquad}\\ \underline{2x^3 +\ \, 2x^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ \,2x^2 -13x + 21\\[-3pt] -13x^2 + 8x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{-13x^2 - 13x}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 21x + 21&&\\ \underline{21x + 21}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]
тогда \[2x^3 - 11x^2 + 8x + 21 = (2x^2 -13x + 21)(x + 1).\] Выражение \(2x^2 -13x + 21\) можно разложить на множители, найдя корни уравнения \(2x^2 -13x + 21 = 0\). Корни \(x_1 = 3,\ x_2 = 3,5\), тогда окончательно \[2x^3 - 11x^2 + 8x + 21 = 2(x - 3)(x - 3,5)(x + 1).\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \(x_1 = 3, \ x_2 = 3,5, \ x_3 = -1\) – подходят по ОДЗ. Сумма больших \(0\) равна \(3 + 3,5 = 6,5\).
Найдите корни уравнения
\[\begin{aligned} 3x^3 + 8x^2 - 17x - 42 = 0. \end{aligned}\]
Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите произведение тех из них, которые меньше \(0\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Можно угадать один из корней \(x = -2\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x + 2)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} 3x^3+8x^2-17x-42&&\negthickspace\underline{\qquad x+2 \qquad}\\ \underline{3x^3 + 6x^2} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \quad 3x^2 +2x - 21\\[-3pt] 2x^2 - 17x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{2x^2 +\ 4x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] -21x - 42&&\\ \underline{-21x - 42}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] тогда \[3x^3 + 8x^2 - 17x - 42 = (3x^2 +2x - 21)(x + 2).\] Выражение \(3x^2 +2x - 21\) можно разложить на множители, найдя корни уравнения \(3x^2 +2x - 21 = 0\). Корни \(x_1 = -3,\ x_2 = \dfrac{7}{3}\), тогда окончательно \[3x^3 + 8x^2 - 17x - 42 = 3(x + 2)(x + 3)\left(x - \dfrac{7}{3}\right).\]
Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \[x_1 = -2, \ x_2 = -3, \ x_3 = \dfrac{7}{3}\] – подходят по ОДЗ. Произведение отрицательных корней равно \(-2\cdot(-3) = 6\).
