Энергия системы зарядов —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#29416

Маленькое тело массой $m$ и зарядом $q$ может свободно двигаться вдоль отрезка длиной 10L, соединяющего неподвижные точечные заряды $2q$ и $3q$ , причём в начальный момент тело покоилось в середине этого отрезка. Найдите ускорение $a$ тела в тот момент времени, когда оно будет находиться на наименьшем расстоянии от заряда $2q$ .

Показать ответ и решение

Скорость в начале пути равна 0, тело находилось в покое, и в наименьшем отдалении от заряда $2q$ тело также будет иметь скорость равную 0, откуда из закона сохранения энергии

W0 = Wk,

где $W0$ , $Wk$ – начальная и конечная потенциальные энергии взаимодействия зарядов.
Или

2 2 2 2 3kq--+ 2kq--= -3kq----+ 2kq-, 5L 5L 10L − x x

где $x$ – расстояние от тела до заряда $2q$ .
Пробразуем

-20L-+--x-- 1- 2 2 2 2 x(10L − x ) = L ⇒ 20L + Lx = 10Lx − x ⇒ x − 9Lx + 20L = 0

Решаем данное квадратное уравнение

2 2 2 D = 81L − 80L = L

9 ± 1 x1,2 = L ------= 5L; 4L 2

Нам подходит вариант $4L$ . Ускорение можно найти из второго закона Ньютона

( ) 1 1 kq2 ----2 − ----2 F2q − F3q = ma ⇒ a = F2q-−-F3q-= -----16L-----36L----- m m

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#29501

Два точечных заряда $+ q$ и $− q$ , закреплённые на концах непроводящего стержня (диполь), находятся в электростатическом поле. Для того, чтобы повернуть этот диполь на $∘ 180$ вокруг центра стержня, внешним силам нужно совершить работу A. Какую работу нужно совершить внешним силам (после поворота) для того, чтобы унести диполь из этого поля на бесконечность? Потенциал бесконечно удалённых точек равен нулю.

Показать ответ и решение

Пусть $φ1$ и $φ2$ – потенциалы поля, где расположены первоначально заряды $+ q$ и $− q$ соответственно.
При повороте диполя выполняется закон сохранения энергии:

q ⋅ φ1 − q ⋅ φ2 + A = − q ⋅ φ1 + q ⋅ φ2 ⇒ A = 2q(φ2 − φ1).

Во втором случае на бесконечности потенциал поля равен нулю, тогда закон сохранения запишется в виде:

′ ′ − q ⋅ φ1 + q ⋅ φ2 + A = 0 ⇒ A = q (φ1 − φ2) = − A∕2.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#29502

Четыре одинаковых маленьких шарика с массой $m$ и зарядом $q$ каждый удерживают в вершинах правильного тетраэдра с ребром $a$ . Один шарик отпускают, продолжая удерживать остальные неподвижно. При каком a шарик наберёт на большом расстоянии скорость $v$ ?

Показать ответ и решение

Найдём энергию взаимодействия шарика, которого отпустили, с остальными до полёта:

kq2- W1 = a

kq2 W2 = ---- a

kq2 W3 = ---- a

Пусть энергия взаимодействия остальных шариков равна $W0$ . На большом расстоянии энергия взаимодейстия равна нулю, тогда

W ′= 0 1

W ′2 = 0

′ W 3 = 0,

а шарик приобретает кинетическую энергию

mv2 E = ----- 2

Тогда по закону сохранения энергии

W1 + W2 + W3 + W0 = W 1′+ W ′2 + W ′3 + W0 + E

Или

3kq2- mv2-- 6kq2- a = 2 ⇒ a = mv2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#29503

Три маленьких шарика, массы которых равны $m$ , $2m$ и $5m$ , имеют электрический заряд $q$ , $q$ и $2q$ соответственно и расположены вдоль одной прямой (рис.). Вначале расстояние между соседними шариками равно $l$ , а сами шарики закреплены неподвижно. Затем шарики отпускают. Найдите суммарную кинетическую энергию шариков после разлёта их на большое расстояние. Найдите скорости шариков, когда они находятся на большом удалении друг от друга. Считайте, что при разлёте шарики всё время остаются на одной прямой.

Показать ответ и решение

Найдём энергию взаимодействия всех шариков:

kq-⋅ q kq2- W12 = l = l ,

kq ⋅ 2q 2kq2 W13 = -------= ----, l l

2 W23 = kq-⋅ 2q-= 2kq-. l l

По закону сохранения энергии суммарная кинетическая энергия равна сумме энергий взаимодействий:

4kq2 E сумм = W12 + W13 + W23 = ----. l

Также по закону сохранения энергии:

W + W + W = E + E + E , 12 13 23 1 2 3

где $E$ – кинетическая энергия шарика.
Запишем второй закон Ньютона для каждого из шаров на ось, направленную влево, и выразим ускорения:

2 2 2 kq--+ 2kq-- = ma1 ⇒ a1 = 3kq--. l2 (2l)2 2l2m

2kq2 kq2 kq2 --2--− -2--= 2ma2 ⇒ a2 = --2--. l l 2l m

2 2 2 − 2kq--− 2kq-- = 5ma ⇒ a = − -kq--. (2l)2 l2 3 3 2l2m

То есть скорости первого и второго шарика направлены влево, а третьего вправо. При этом крайние шарики движутся относительно среднего с одинаковым ускорением:

2 kq-- a = a1 − a2 = a3 − a2 = l2m ,

следовательно, расстояния от крайних шариков до среднего все время будут одинаковыми. А отношение скоростей будет равно отношению ускорений:

v1 : v2 : v3 = 3 : 1 : 1

Запишем закон сохранения энергии:

∘ ----- 4kq2 m (3v )2 2mv2 5mv2 kq2 -----= -----3-- + ----3-+ ----3-⇒ v3 = v2 = ----, l 2 2 2 2ml

и окончательно

∘ ----- kq2- v1 = 3v3 = 3 2ml .

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записаны энергии взаимодействия всех шариков	2

Записан закон сохранения энергии	2

Записан второй закон Ньютона	2

Записано соотношение между скоростями	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#29504

В трёх вершинах правильного тетраэдра с длиной ребра $a$ удерживают три маленьких шарика, каждый из которых имеет массу $M$ и заряд $Q$ . В четвёртой вершине удерживают ещё один маленький шарик массой m и зарядом q. Известно, что $m << M$ , a $Q = 2q$ . Все шарики одновременно освобождают.
1) Найдите абсолютные величины скоростей шариков после их разлёта (удаления друг от друга на бесконечно большие расстояния).
2) Под какими углами к грани тетраэдра, содержавшей три тяжёлых шарика, они будут двигаться после разлёта?

Показать ответ и решение

Поскольку $m << M$ и $q ∼ Q$ то легкий шарик улетит на достаточно большое расстояние до того, как тяжелые шарики заметно сдвинутся из начального положения. Поэтому можно считать, что легкий шарик улетает на бесконечное расстояние, двигаясь во внешнем постоянном поле тяжелых шариков. По закону сохранения энергии

∘ ------ ∘ ------ kqQ2- mv2-- 6kqQ-- 3kQ2-- 3 a = 2 ⇒ v = ma = ma .

Затем будут разлетаться тяжелые шарики. В силу симметрии модули их скоростей будут одинаковы: $V1 = V2 = V3 = V$ . По закону сохранения энергии

2 2 ∘ ----2- 3kQ-- = 3M-V---⇒ V = 2kQ--. a 2 M a

Углы между скоростями тяжелых шариков и гранью тетраэдра, содержавшей их в начальный момент, $α1 = α2 = α3 = α ≈ sin α = Vx ∕V$ , где $Vx$ –проекция скорости тяжелого шарика на перпендикуляр к указанной грани. По закону сохранения импульса

∘ ------ ∘ ---- 3M V = mv ⇒ α = -mq---= -m-- x 3M Q 6M

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#29505

Над тонкостенным металлическим шаром, радиус которого $R$ = 5 см, на высоте $h$ = 10 см находится капельница с заряженной жидкостью. Капли жидкости падают из капельницы в небольшое отверстие в шаре (рис.). Определите максимальный заряд Q0, который накопится на шаре, если заряд каждой капли $q$ = $1,8 ⋅ 10− 11$ Кл. Радиус капель $r$ = 1 мм. Плотность жидкости равна $ρ = 1$ г/см̂3
(Всеросс., 1992, ОЭ, 10 )

Показать ответ и решение

Максимальное количество капель, попавших в отверстие шара, ограничивается его объемом:

( ) 4∕3 πR3 R 3 5 n1 = ------3-= -- = 1,25 ⋅ 10 4 ∕3πr r

Заряд, накапливающийся в шаре по мере падения капель, отталкивает вновь падающие капли. Обозначим через $Q = n2q$ заряд шара, где $n2$ – число капель, попавших в шар. Запишем закон сохранения энергии:

-kqQ-- mv2-- kqQ-- mgh + R + h = 2 + R ,

где $m$ – масса капли
Максимальность заряда достигается при $v = 0$ , тогда

3 mgR--(R-+-h)- 4πρr-gR-(R-+--h) −9 Q0 = kq = 3kq ≈ 1,9 ⋅ 10 К л

Проверим, уместятся ли в шаре все капли, несущие такой заряд:

mgR (R + h) Q0 = n2q ⇒ n2 = -------------≈ 1,06 ⋅ 105 kq2

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано максимальное количество капель	2

Записан закон сохранения энергии	2

Сказано когда достигается максимальность заряда	2

Сказано, уместятся ли все капли	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#29506

Три одинаковых одноимённо заряженных шарика, каждый зарядом $q$ и массой $m$ , связаны нерастяжимыми нитями, каждая длиной $a$ . Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой горизонтальной поверхности (см. рисунок). Какую минимальную скорость $v$ необходимо сообщить центральному шарику, чтобы при дальнейшем движении шарики смогли образовать равносторонний треугольник? Радиус шариков мал по сравнению с длиной нити.

Показать ответ и решение

Пусть средний шарик при образовании равностороннего треугольника имеет скорость $u$ . Проецируем скорость на направление нити (красная и синия проекция), у двух других шариков должны быть такие же (см. рис.). Так как скорости нижнего и верхнего шарика должны быть симметричны, то ”добавляем” зелёный вектор и суммируя векторы, получаем, что скорости всех шариков равны $u$ .

Запишем закон сохранения импульса:

mv = 3mu ⇒ u = v- 3

Запишем закон сохранения энергии

kq2 kq2 kq2 mv2 kq2 kq2 kq2 3mu2 ----+ ----+ ----+ -----= ----+ ----+ ----+ ------ a a 2a 2 a a a 2

или

∘ ----- kq2 mv2 3k ----= -----⇒ v = q ----- 2a 3 2ma

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#29507

Три маленьких одинаковых шарика, каждый массой $m$ и зарядом $q$ , расположены на гладкой горизонтальной поверхности. Шарики связаны друг с другом тремя нерастяжимыми и непроводящими нитями, каждая длиной $l$ (см. рисунок). Все три нити одновременно пережигают. Пренебрегая силой тяжести, определить:
1) ускорения шариков сразу после пережигания нитей;
2) импульс каждого шарика после разлёта на большие расстояния друг от друга.
(МФТИ, 1997 )

Показать ответ и решение

1) Каждый из шариков действует на два других с силой, направленной вдоль прямой между шариками и равной

2 Fi = kq-- l

У каждого из шариков одинаковая сила воздействия, которую можно найти из теоремы косинусов. Найдем ее для левого шарика (1)

∘ ---2-4----2-4- 2√ -- F 2 = F 2 + F 2 − 2F F cos(120∘) ⇒ F = 2k-q--+ k-q--= kq---3- 1 1− 2 1− 3 1−2 1−3 1 l4 l4 l2

Тогда по второму закону Ньютона ускорение

√ -- kq2 3 F1 = ma ⇒ a = ----2-- ml

2) Потенциальная энергия системы зарядов до пережигания нити:

3kq2 En = ----- l

На больших расстояниях заряды не воздействуют друг на друга $En = 0$ , а сумма кинетических энергий равна $3mv2-- 3p2- Ek = 2 = 2m ,$ где $p$ – импульс одного заряда.
Тогда из закона сохранения энергии

∘ ------- 3kq2 3p2 2mkq2 -----= ----⇒ p = ------- l 2m l

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#29508

Точечный заряд $Q$ находится на расстоянии $d$ от очень большой проводящей плоскости. В некоторый момент времени заряд перемещают на расстояние $2d$ вдоль плоскости (см. рисунок), причём так быстро, что за время перемещения заряда $Q$ заряды на плоскости не успели сместиться от своих первоначальных положений. Какое количество теплоты выделится в веществе плоскости в процессе установления равновесия?
(«Росатом», 2017, 11 )

Показать ответ и решение

Как известно, со стороны проводящей плоскости на точечный заряд $Q$ действует такая же сила, как со стороны точечного заряда $− Q$ , расположенного за плоскостью на таком же расстоянии, как и точечный заряд. Или (другими словами), на плоскости индуцируются такие заряды, поле которых совпадает с полем точечного заряда, расположенного за плоскостью на таком же расстоянии от него. А поскольку по условию в процессе перемещения точечного заряда $Q$ заряды на плоскости не успевают перераспределиться, то необходимо совершить такую же работу, как при перемещении точечного заряда $Q$ в поле покоящегося точечного заряда $− Q$ . А она, в свою очередь, равна изменению потенциальной энергии заряда $Q$ , перемещающегося из точки на расстоянии $2d$ от покоящегося заряда $− Q$ , в точку на расстоянии

√4d2-+--4d2-= √8d-

от этого заряда (см. рисунок). Поэтому необходимо совершить работу

( ) √ -- kQ kQ kQ2 2 − 1 W = Q ----− √---- = -------√--- 2d 8d d 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#49770

В вершинах равнобедренного треугольника со сторонами $a,5a, 5a$ находятся неподвижно три небольших по размерам положительно заряженных шарика, связанных попарно тремя лёгкими непроводящими нитями. Каждый из шариков, связанных короткой нитью, имеет массу $m$ и заряд $q$ . Третий шарик имеет массу $2m$ и заряд $5q$ . Короткую нить пережигают, и шарики начинают двигаться. В момент, когда шарики оказались на одной прямой, скорость шариков массой m оказалась равной $v$ .
1) Найдите в этот момент скорость шарика массой $2m$ .
2) Найдите $q$ , считая известными $m, v,a.$

(«Физтех», 2015, 10)

Показать ответ и решение

Поскольку нити нерастяжимы и натянуты, проекции скоростей шариков на нити, в момент когда шарики находятся на одной прямой, равны нулю, тогда скорости шариков направлены перпендикулярно нитям, причем скорость шарика $2m$ противоположно направлена скоростям шариков $m$ . По закону сохранения импульса: