Плоский конденсатор —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31326

Плоский воздушный конденсатор обладает одинаковыми круглыми обкладками радиусом $R$ . По обкладкам распределены заряды $+ Q$ и $− Q$ , а расстояние между обкладками равно $d$ ( $d < < R$ ). На оси симметрии конденсатора между пластинами на расстоянии x от обкладки с зарядом $+ Q$ находится частица с зарядом $q$ ( $|q| < < |Q |$ ). Найдите потенциальную энергию взаимодействия этой частицы с конденсатором, считая, что потенциальная энергия равна нулю тогда, когда частица находится на бесконечно большом расстоянии от конденсатора.

Показать ответ и решение

Из-за краевых эффектов электростатическое поле, создаваемое конденсатором, отлично от нуля вне конденсатора. Работу, совершаемую силой, действующей со стороны конденсатора на заряд при его перемещении из начального положения на бесконечность, проще всего найти, рассматривая маршрут перемещения, обозначенный зелёными стрелками. Этот маршрут состоит из двух частей, причём на второй части (вертикальный луч) работа силы равна нулю, поскольку в каждой точке этого луча сила перпендикулярна перемещению. Работа силы на первом (горизонтальном) участке равна

( d ) A = qEX -− x , 2

где $Ex$ – проекция электростатического поля внутри конденсатора на ось, направленную вправо. В соответствии с определением потенциальной энергии, искомая энергия равна работе $A$ . Напряжённость поля внутри плоского конденсатора:

Q Q Ex = --- = ----2- 𝜀S 𝜀πR

где $S$ – площадь одной пластины конденсатора. Окончательно получим:

( ) U = A = -qQ--- d-− x 𝜀πR2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#41069

Два плоских конденсатора емкости $C$ каждый, соединенные параллельно и заряженные до напряжения $U$ , отсоединяют от источника. Пластины одного из конденсаторов могут двигаться свободно навстречу друг другу. Найдите их скорость в тот момент, когда зазор между пластинами конденсатора уменьшится в два раза. Масса каждой пластины равна $M$ . Силой тяжести пренебречь.

(Всеросс., 2016, МЭ-Брянск, 11)

Показать ответ и решение

Из закона сохранения электрического заряда следует:

2CU = Q1 + Q2

Из равенства разностей потенциалов на обкладках конденсаторов имеем:

-Q1 Q2- 2C = C

Отсюда

4CU Q1 = 2Q2 = ----- 3

Закон сохранения энергии дает:

M v2 CU 2 ( Q2 Q2 ) CU 2 2-----= ΔW = 2----- − ---1--+ --2 = ----- 2 2 2 ⋅ 2C 2C 3

В результате получаем:

∘ ----- CU 2 v = ----- 3M

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41146

Батарея из $n$ последовательно соединённых конденсаторов, ёмкостью $C$ каждый, подключены к постоянному напряжению $U$ (см. рис.). Один из конденсаторов пробивается.
Определить:
1) изменение энергии батареи;
2) работу источника тока.

(Всеросс., 2019, МЭ-Астрахань, 11)

Показать ответ и решение

1. До пробоя ёмкость батареи (рис. слева):

Cn = C∕n

2. Энергия батареи при этом

CnU--2 CU--2 W1 = 2 = 2n

3. После пробоя (рис. справа) ёмкость батареи:

C Cn −1 = ------ n − 1

4. Энергия батареи при этом

C U 2 CU 2 W2 = -n−1----= --------- 2 2 (n − 1)

5. Изменение энергии

--CU--2--- ΔW = W2 − W1 = 2n(n − 1) > 0

6. Энергия системы увеличилась за счет работы источника тока. Т.к. $U = const$ , то $Aист = U ⋅ Δq$ . $Δq$ - изменение заряда на обкладках конденсаторов в результате пробоя одного из них

Δq = q2 − q1 = Cn −1U − CnU = --CU----- n(n − 1)

7. Тогда работа источника:

CU 2 A ист = --------- n(n − 1)

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49772

На одной из пластин плоского конденсатора ёмкостью $C$ находится заряд $+ q,$ а на другой $+ 4q$ . Определите разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Показать ответ и решение

Напряженность поля пластины внутри конденсатора

-4q-- --q-- E = 2𝜀 S − 2𝜀 S 0 0

Напряжение же равно

3 qd 3q U = Ed = ----- = --- 2𝜀0S 2C

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#49773

Найдите силу притяжения пластин плоского конденсатора друг к другу. Заряд конденсатора равен $q$ , площадь пластин $S.$

Показать ответ и решение

Силу притяжения пластин можно найти, как силу воздействия одной из пластин на другую, то есть

2 F = qE = q -q---= -q--- 2𝜀0S 2𝜀0S

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#49774

Плоский воздушный конденсатор, отсоединённый от источника, имеет заряд $Q$ и заряжен до напряжения $U0$ . Расстояние между обкладками равно $d$ .
1) Найдите силу притяжения обкладок.
2) Какую минимальную работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками в 1,5 раза?
(«Физтех», 2014)

Источники: Физтех, 2014

Показать ответ и решение

1) Сила притяжения

E- F = Q 2

Напряженность

U0 E = --- d

Откуда сила

F = QU0-- 2d

2) Это работа будет совершена против силы притяжения пластин

d QU A = F --= ----0 2 4

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#49775

В электростатических полях Муха-Цокотуха умеет летать только по эквипотенциальным поверхностям. Её поместили между обкладками заряженного плоского конденсатора на оси $′ OO$ на расстоянии $-9999-d 20000$ от одной из них ( $d$ – расстояние между обкладками). Обкладки конденсатора имеют форму дисков радиуса $R$ , причём $R > > d$ . На каком расстоянии $r$ от конденсатора будет Муха, когда окажется вне конденсатора на его оси симметрии?

(Всеросс., 2000, ОЭ, 10)

Источники: Всеросс., 2000, ОЭ, 10

Показать ответ и решение

Пусть в середине конденсатора потенциал равен 0, тогда на расстоянии $d∕20000$ от середины потенциал равен $d Q φx = ------------2, 20000 𝜀0πR$ где $Q$ – заряд на обкладках.

На больших расстояниях вдоль оси поле конденсатора – это поле двух других точечных зарядов:

( ) --1-- Q- --Q-- --1--Qd- φ = 4π𝜀0 r − r + d ≈ 4π 𝜀0r2 .

Условие равенства потенциалов дает

d Q 1 Qd √ ----- ------------ = ------- ⇒ r = R 5000 ≈ 707R. 20000 𝜀0πR2 4π𝜀0 r2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#49776

Плоский конденсатор с площадью пластин $S$ полностью заполнен двумя слоями диэлектрика с толщинами $d1$ и $d2$ и диэлектрическими проницаемостями $𝜀1$ и $𝜀2$ (см. рисунок). Между обкладками конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов $ξ$ . Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у нижней обкладки конденсатора

(МФТИ, 2006)

Источники: МФТИ, 2006

Показать ответ и решение

Пусть $E$ – напряжённость поля, которое было бы в конденсаторе в отсутствие диэлектрика при тех же зарядах на обкладках. Тогда поля в диэлектриках равны соответственно $E E1 = -- 𝜀1$ и $E E2 = -- 𝜀2$ . Из условии $E d + E d = ξ 1 1 2 2$ находим $E$ :

E E ξ 𝜀1 ⋅ 𝜀2 -- d1 + --d2 = ξ ⇒ E = d----d--= ξ----------- 𝜀1 𝜀2 -1-+ -2- 𝜀1d2 + 𝜀2d1 𝜀1 𝜀2

Поле $E2$ складывается из поля $E$ зарядов пластин и поля $E ′2$ связанных зарядов $q′$ на поверхности диэлектрика:

E ( 1 ) 𝜀 − 1 E2 = E + E2′, E2′= E2 − E = --− E = E --− 1 = − E -2---- 𝜀2 𝜀2 𝜀2

Кроме того

′ σ-′ -q′- E = 𝜀 = 𝜀 S 0 0

Откуда

𝜀 − 1 𝜀 (𝜀 − 1) q′ = S𝜀0E ′ = − S𝜀0E -2---- = − 𝜀0Sξ -1--2------ 𝜀2 𝜀1d2 + 𝜀2d1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#49777

Два диска, по которым равномерно распределены заряды $q$ и $− q$ , могут двигаться без трения в длинном непроводящем теплоизолированном цилиндре, расположенном горизонтально (см. рисунок). Расстояние между дисками много меньше их радиуса. Между дисками находится некоторое количество гелия, за дисками газа нет, система находится в равновесии. Заряды дисков мгновенно уменьшают вдвое, после чего ожидают прихода системы в равновесие. Пренебрегая теплообменом, найдите, во сколько раз изменятся температура газа и расстояние между дисками.

(Всеросс., 2015, финал, 10)

Источники: Всеросс., 2015, финал, 10

Показать ответ и решение

Обозначим через $V, P$ и $T$ начальные значения объёма, давления и температуры газа, $d$ – начальное расстояние между дисками, а те же величины с индексом 1 – те же параметры в конечном состоянии. Так как расстояние между дисками много меньше их радиуса, напряжённость поля диска можно вычислять, считая его равномерно заряженной бесконечной плоскостью:

E = --q--, 2𝜀0S

где $S$ – площадь дисков.
Тогда на второй диск со стороны первого действует сила $F = qE$ :

2 F = qE = -q---. 2𝜀0S

Сила пропорциональна квадрату заряда и не зависит от расстояния между пластинами, поэтому конечное равновесное давление будет в четыре раза меньше начального.
Энергия конденсатора равна

2 2 Wc = -q- = -q-d- = F d = P V. 2C 2 𝜀0S

Рассмотрим систему, состоящую из газа и заряженных пластин. Её энергия равна

3- 5- 5- W = P V + 2P V = 2P V = 2νRT.

Энергия системы в конечном равновесном состоянии должна равняться начальной энергии:

5 3 PV 5 7 7T -P1V1 = -P V + ----⇒ --νRT1 = -νRT ⇒ T1 = ---. 2 2 4 2 4 10

Теперь, используя $P1 = P∕4$ :

P1V1-= T1-= 7--⇒ d1-= V1- = 14-. P V T 10 d V 5

Полученный ответ подтверждает предположение о малости $d$ в конечном состоянии.
(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#50043

Три незаряженных конденсатора с ёмкостями $C$ , $2C$ и $3C$ соединены вместе одними своими концами в точке $O$ . Затем на вторые концы конденсаторов подают потенциалы $φ1$ (на $C$ ), $φ2$ (на $2C$ ) и $φ3$ (на $3C$ ). Определить потенциал точки $O$ .
(«Росатом», 2011 и 2013, 11)

Источники: Росатом, 2011 и 2013, 11

Показать ответ и решение

Пусть потенциал точки $O$ равен $ϕ0$ . Тогда заряды пластин конденсаторов, связанных с точкой $O$ будут равны

q1 = C (φ0 − φ1)

q2 = 2C (φ0 − φ2) (1)

q3 = 3C (φ0 − φ3 )

С другой стороны по закону сохранения заряда суммарный заряд пластин конденсаторов, соединенных с точкой $O$ , равен нулю $q1 + q2 + q3 = 0$ . Поэтому из (1) имеем

φ + 2φ + 3φ ϕ0 = --1-----2-----3 6

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67211

Плоский воздушный конденсатор ёмкостью $C0$ заряжен до напряжения $U0$ и отсоединён от источника. Расстояние между обкладками увеличили на 30%.
1) Каким стало напряжение на конденсаторе?
2) Какую минимальную работу пришлось совершить при этом?

(«Физтех», 2014)

Показать ответ и решение

Так как конденсатор отключён от источника, следовательно заряд в системе не изменяется. По условию задачи, расстояние между пластинами станет равным $d = 1,3d0$ . Запишем условие равенства зарядов до и после

C0 C0U0 = CU ⇒ C0U0 = ---U ⇒ U = 1,3U0 1,3

Минимальную работу найдём как разность энергий конденсатора до и после

2 2 2 2 A = CU---− C0U-0-= --C0---⋅ 1,32U 2− C0U-0-= 0,3 ⋅ C0U-0-= 3-C U2 2 2 2 ⋅ 1,3 0 2 2 20 0 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#67212

Два проводящих поршня площади $S$ , расположенные в трубе из диэлектрика, образуют плоский конденсатор, заполненный воздухом при атмосферном давлении $p0$ . Во сколько раз изменится расстояние между поршнями, если их зарядить разноимёнными зарядами $+ Q$ и $− Q$ ? Система хорошо проводит тепло, трение отсутствует.

(Савченко, 6.5.2)

Показать ответ и решение

Так как поперечные размеры поршней велики по сравнению с расстоянием между ними, то электрическое поле, создаваемое зарядом, находящимся на поршнях, можно найти как поле равномерно заряженной бесконечной плоскости:

σ E = ----- 2𝜀0𝜀

где $Q σ = S-$ - поверхностная плотность заряда . Относительная диэлектрическая проницаемость воздуха $𝜀 = 1$ . Сила Кулона, с которой поршни притягиваются, равна:

Q2 F = QE = ----- 2S 𝜀0

Давление воздуха в промежутке между заряженными поршнями:

2 p = p0 + F-= p0 + -Q---- S 2S2𝜀0

Так как температура в системе постоянна, то объем и давление в промежутке между поршнями для случаев заряженных и незаряженных поршней связаны законом Бойля - Мариотта:

pV = p0V0

В свою очередь $V = Sd$ , а $V0 = Sd0$ , следовательно, расстояние между поршнями уменьшится в:

d0- -p- --Q2---- k = d = p = 1 + 2S2𝜀 p 0 0 0

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана формула напряженности бесконечной заряженной пластинки	2

Записана формула расчета давления	2

Записан закон Бойля-Мариотта	2

Записана формула объёма	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67213

$ν = 2$ моля одноатомного идеального газа находится в теплоизолирующем вертикальном цилиндре с подвижным поршнем площадью $S$ и массой $m$ . Дно цилиндра равномерно заряжено зарядом $q$ , а поршень — зарядом $(− q)$ . Расстояние между дном сосуда и поршнем намного меньше диаметра цилиндра. Газ медленно получает от нагревателя количество теплоты $Q$ . На какое расстояние при этом сдвинется поршень? Считайте, что электрическое поле остается однородным, трения нет. Диэлектрическая проницаемость газа равна единице, электрическая постоянная $𝜀0$ , ускорение свободного падения $g$ , давление над поршнем равно $p0$ .
(«Покори Воробьёвы горы!», 2019, 10–11)

Показать ответ и решение

Поскольку электрическое поле однородно, сила притяжения между поршнем и дном цилиндра не зависит от положения поршня:

2 F = |q− |E+ = -q--- 2𝜀0S

Поэтому давление $p$ газа во время опыта постоянно (с учетом наружного атмосферного давления и веса поршня):

2 p = p0 + mg-+-q-∕-(2𝜀0S)- S

Рассуждая аналогично тому, как это было сделано в вопросе, замечаем, что полученное газом количество теплоты связано с работой по перемещению поршня соотношением $5 2 Q = 2A ⇒ pS ⋅ Δh = 5Q$ . Поэтому смещение поршня равно $Δh = 4-----𝜀02QS-----2 52𝜀0(p0S +mgS)+q$ .

(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

01 Плоский конденсатор