Локальный закон Ома —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33207

Некоторое вещество обладает нелинейной проводимостью. Удельное сопротивление $ρ$ этого вещества зависит от напряжённости $E$ электрического поля по следующему закону:

ρ = ρ0 + AE2,

где $7 ρ0 = 1,0 ⋅ 10$ Ом $⋅$ м и $− 3 A = 1,0 ⋅ 10$ Ом $⋅$ м $3$ /В $2$ . Этим веществом заполнено всё пространство между пластинами плоского конденсатора. Площадь пластин $S = 1$ м $2$ .
1) Через конденсатор течёт ток. Найдите максимально возможное значение силы тока $Imax$ .
2) Предполагая, что расстояние между пластинами конденсатора $d = 1$ см, определите максимальную тепловую мощность, которая может выделяться внутри конденсатора при изменении напряжения между пластинами. Постройте качественный график зависимости мощности $p$ от напряжения $U$ .
3) Пусть теперь напряжение на конденсаторе постоянно: $3 U1 = 2,0 ⋅ 10$ В. Какая максимальная мощность может выделяться внутри конденсатора, если изменять расстояние между пластинами? При каком значении $d = d1$ достигается максимальная мощность? Предполагается, что конденсатор заполнен веществом при любых значениях $d$ . Постройте качественный график зависимости выделяемой мощности $P$ от расстояния $d$ между пластинами.
(Всеросс., 2009, финал, 10)

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение для $ρ$ :

2 2 2 2 ρ = ρ0 + AE = A(ρ0∕A + E ) = A (E 0 + E ),

где $∘ ----- E0 = ρ0 ∕A = 105$ В/м.
1. Найдем выражение для силы тока, протекающего через конденсатор

U Ed S E I = --= ----- = ----2------ (1) R ρd∕S A E 0 + E2

Выразим из (1) напряженность электрического поля $E$ как функцию силы тока $I$ :

∘ --------------- ( ) ( )2 E2 − 2 --S- E + E20 = 0 ⇒ E1,2 = -S--± -S-- − E20. 2AI 2AI 2AI

Выражение для $E$ имеет вещественные корни, если $( )2 -S-- 2 2AI − E0 ≥ 0.$ Отсюда найдём

S S Imax = ------= -√-----= 5 мА 2AE0 2 Aρ0

2. Мощность, выделяемая в конденсаторе:

U2- S-----U-2--- Sd----U2---- P (U ) = R = Ad E2 + E2 = A U 2+ U 2, 0 0

где $U0 = E0d = 1$ кВ.
С ростом напряжения мощность растёт и стремится к $Pmax = Sd ∕A = 10$ Вт при $u → ∞$ . Заметим, что при $U < < U0$ можно записать:

2 P ≈ Sd-U--. A U 20

График $P$ от $U$ удобно строить в координатах $P ∕P max$ и $U ∕U 0$ (рис. 21).

3. Представим вырежния для мощности, выделяемой в конденсаторе, как функцию от расстояния $d$ :

U 2 d Sd0 ( d0 d ) −1 P (d) = --1 = SU 21----2------2 = ---- ---+ --- , R AU 1 + ρ0d A d d0

где $d0 = U1∕E0 = 2$ см.
Заметим, что

( ) ( ∘ --- ∘ --)2 d0- d-- d0- -d- d0- d-- d + d0 = d − 2 + d0 + 2 = d − d0 + 2

Это выражения принимает минимальное значение при $d = d0$ . Соответственно, мощность достигает максимума при $d = d0$ .

P ′ = P (d0) = Sd0-= 10 Вт max 2A

Совпадение $Pmax$ и $P ′max$ случайно. Заметим, что при $d << d0$ мощность

SU-21d- Sd- P (d ) ≈ AU 2 = A . 1

График $P$ от $d$ удобно строить в координатах $′ P∕P max$ и $d∕d0$ (рис. 22):

P 2(d ∕d ) ----- = -------0--- Pmax 1 + (d ∕d0)2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33208

Сферический конденсатор с радиусами обкладок $R1 = R$ и $R3 = 3R$ подсоединён к источнику с постоянным напряжением $U$ (рис.). Пространство между обкладками заполнено двумя слоями различных веществ с удельными сопротивлениями $ρ = ρ 1$ и $ρ = 2ρ 2$ и диэлектрическими проницаемостями $𝜀1 = 𝜀2 = 1$ . Радиус сферической границы между слоями $R2 = 2R$ . Удельная проводимость слоёв между обкладками конденсатора намного меньше удельной проводимости материала обкладок.
1) Найдите заряд на границе между слоями различных веществ.
2) Найдите силу тока, протекающего через конденсатор.
(Всеросс., 2001, финал, 10)

Показать ответ и решение

Пусть заряд обкладок конденсатора $Q1$ и $Q3$ , а заряд на границе слоев $Q2$ . Запишем закон сохранения заряда:

Q1 + Q2 + Q3 = 0 (1 )

Разность потенциалов между обкладками равна $U$ , то есть

1 ( Q Q Q ) ----- --1 + --2 + --3 = U. (2) 4π 𝜀0 R 2R 3R

Воспользуемся законом Ома, выраженным в дифференциальной форме: $j = E ∕ρ$ . Плотность тока, т.е. сила тока, протекающего через единичную площадку, по обе стороны границы слоев одинакова. Поэтому для пограничной области радиуса $R 2$

( ) 1 1 Q1 1 1 Q1 Q2 -----------2 = -------- -----2 + ----2- . ρ 4π𝜀0(2R ) 2 ρ4π 𝜀0 (2R ) (2R )

Отсюда

Q1 = Q2 (3)

Из (1) – (3) находим

24 Q2 = --π 𝜀0U R. 5

Плотность тока вблизи обкладки радиуса $R$ :

j = 1--Q1----= 6U--. ρ4π 𝜀0R2 5ρR

Тогда сила тока, текущего через конденсатор,

I = 4 πR2j = 24πU-R-. 5ρ

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33209

Имеются три концентрические хорошо проводящие металлические сферы 1, 2 и 3 радиусами $R$ , $2R$ и $3R$ . Пространство между первой и второй сферами заполнено жидкостью с диэлектрической проницаемостью $𝜀$ и удельным сопротивлением $11 ρ$ , а между второй и третьей – жидкостью с диэлектрической проницаемостью $11𝜀$ и удельным сопротивлением $ρ$ . Между внутренней и внешней сферами при помощи батарейки поддерживается постоянная разность потенциалов $U$ . Чему равен заряд $q2$ средней сферы? Какова сила тока $I$ , который течёт при этом в цепи?
(МОШ, 2010, 10)

Показать ответ и решение

E1 = kq1, E2 = k(q1-+-q2) 𝜀r2 11 𝜀r2

Тогда

--I-- dU = 4πr2 ρdr

∫2R ( ) 11ρI- dr- 11ρI- 1- -1- 11Iρ- U1−2 = 4π r2 = 4π R − 2R = 8πR . R

Аналогично для 2-3

∫3R ( ) ρI- dr- ρI- -1- -1- --Iρ-- U2−3 = 4 π r2 = 4π 2R − 3R = 24πR . 2R

Откуда

17Iρ 12πRU U = U1 −2 + U2 −3 =------⇒ I = -------. 12πR 17ρ

Плотность тока равна

j = E- ⇒ E = 11ρ -I---= kq1.E = ρ--I--= k(q1-+-q2). ρ 1 4πr2 𝜀r2 2 4πr2 11𝜀r2

Тогда сила тока

2 2 I = kq1-⋅ 4πr-= k(q1-+-q2) ⋅ 4πr ⇒ q = q + q ⇒ q = 0. 11ρ𝜀r2 11𝜀r2 1 1 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#33211

Плоский конденсатор с расстоянием между обкладками $d$ подсоединён к источнику постоянного тока с ЭДС, равной $E$ (рис.). Конденсатор заполнен двумя слоями слабопроводящих сред с разными значениями удельной проводимости $λ 1$ и $λ 2$ . Оба слоя находятся в электрическом контакте между собой и с пластинами конденсатора. Толщина каждого слоя $d∕2$ , диэлектрическая проницаемость обоих слоёв $𝜀1 = 𝜀2 = 1$ . Найдите:
1) поверхностные плотности $σ1$ и $σ2$ зарядов на пластинах конденсатора;
2) поверхностную плотность $σ$ заряда в плоскости контакта слоёв.
Примечание. Удельная проводимость — это величина, обратная удельному сопротивлению: $λ = 1∕ρ$ .
(Всеросс., 2011, финал, 10)

Показать ответ и решение

1. Пусть $E1$ и $E2$ напряжённости однородных электрических полей в верхней и нижней пластинах соответственно. Тогда:

E1d-+ E2 d-= ξ. (1 ) 2 2

Здесь $E1d ∕2$ и $E2d ∕2$ – падения напряжений на слоях. По закону Ома:

d- 1-d∕2- d- -1-d∕2- E1 2 = I1 λ1 S , E2 2 = I2λ2 S (2)

где $I1 = I2$ – силы токов, текущих в 1-ом и 2-ом слоях, $S$ – площадь пластин конденсатора. Поделив почленно эти соотношения, получим:

E1- λ2- E2 = λ1 (3)

Решая систему из двух уравнений (1) и (3), найдём:

2𝜀 ξ λ 2𝜀 ξ λ σ1 = 𝜀0E1 = --0-----2---- σ2 = − 𝜀0E2 = − --0-----1--- d λ1 + λ2 d λ1 + λ2

2. Полный заряд конденсатора, включающий заряды на пластинах и заряд в плоскости контакта слоёв, равен нулю. Пусть $σ$ – поверхностная плотность заряда в плоскости контакта. Условие равенства нулю полного заряда:

σ1 + σ2 + σ = 0

Отсюда:

( ) σ = − σ − σ = − 2𝜀0ξ- ----1-----− ----1----- = − 2𝜀0ξ-λ2 −-λ1- 1 2 d 1 + λ1∕λ2 1 + λ2∕λ1 d λ1 + λ2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33213

Плоский конденсатор ёмкостью $C0$ заполнен слабопроводящей слоистой средой с $𝜀 = 1$ , удельное сопротивление которой зависит от расстояния x до одной из пластин по закону

( ) ρ = ρ0 1 + 2x- , d

где $d$ – расстояние между пластинами конденсатора. Конденсатор подключён к батарее с напряжением $U0$ (рис.). Найдите:
1) силу тока, протекающего через конденсатор;
2) заряды нижней ( $q1$ ) и верхней ( $q2$ ) пластин конденсатора;
3) заряд $q$ внутри конденсатора (т. е. в среде между пластинами);
4) электрическую энергию $W э$ , запасённую в конденсаторе.
(Всеросс., 2011, финал, 11 )