Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.18 Окружность: вписанная в многоугольник или угол

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#231

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 3,5,$ $AD = 4,$ $BC = 6,5.$ Найдите длину $CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = AD +BC,$ откуда получаем

3,5+ CD = 4+ 6,5 ⇒ CD = 7

Ответ: 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#232

В четырёхугольнике $ABCD :$ $AB = 5,$ $BC = 6,$ $CD =8,$ $AD = 7,$ точка $O$ лежит на биссектрисах углов $A$ и $B.$ Найдите разность расстояний от точки $O$ до $BC$ и от точки $O$ до $CD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность, следовательно, в $ABCD$ можно вписать окружность.

$PIC$

Так как в описанном четырёхугольнике биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке — центре вписанной в него окружности, то $O$ — центр вписанной в $ABCD$ окружности, следовательно, расстояния от точки $O$ до $BC$ и от точки $O$ до $CD$ равны и их разность равна $0.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#784

В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром в точке $O,$ причем $∠BAO = 20∘,$ $∠OBA = 35∘.$ Найдите $∠BCO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то $AO,BO, CO$ — биссектрисы углов $A,B, C$ соответственно.

$PIC$

Тогда имеем:

180∘ = ∠A +∠B +∠C = = 2∠BAO + 2∠ABO + 2∠BCO

Следовательно, искомый угол равен

∘ ∠BCO = 90 − ∠BAO − ∠ABO = = 90∘− 20∘− 35∘ = 35∘

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#785

В треугольник вписана окружность радиуса $2,4√3.$ Одна из сторон треугольника равна $13,$ а разность двух других равна $5.$ Найдите большую сторону этого треугольника.

Показать ответ и решение

1) Пусть в треугольнике $BC = 13,$ $AC − AB = 5.$ Таким образом, наибольшей стороной будет или $AC,$ или $BC.$

Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $AM = AK = a,$ $BM =BN = b,$ $CN = CK = c$ (где $M, N, K$ — точки касания).

$PIC$

Таким образом, из условия следует, что $b+ c= 13,$ $a+ c− (a+ b) =c − b =5.$ Решая систему из этих двух уравнений, находим, что $b= 4,$ $c= 9.$

2) Заметим, что полупериметр данного треугольника равен $a+ b+ c= a +13,$ а площадь по формуле Герона равна

∘------------------------------------------------------- S = (a+ b+ c)(a+ b+ c− (a+ b))(a+ b+ c− (a +c))(a+ b+ c− (b+ c))= = ∘(a+-b+-c)⋅a⋅b⋅c= 6∘a-(a-+-13)-

Тогда по формуле (площадь равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности) имеем:

∘-------- √ - ( 12√-)2 S = (a+ b+ c)⋅r ⇒ 6 a(a+ 13)= (a+ 13)⋅2,4 3 ⇒ 36a = (a +13)⋅ 5- 3 ,

откуда $a= 12.$ Следовательно, $AC =12 +9 = 21> BC.$ Значит, большая сторона равна $21.$

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#786

Окружность $S$ касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC.$ Найдите длину отрезка касательной к окружности $S,$ проведенной из точки $A,$ если периметр треугольника $ABC$ равен $20.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок:

$PIC$

Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, то $CN = CM,$ $BM = BK,$ $AN = AK.$ Таким образом, периметр

P = AC + CB + BA = AC + CM + MB + BA = AC + CN + BK + BA = = (AC + CN )+ (KB +BA )= AN +KA = 2AN

Следовательно, $AN = 12P = 10.$

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#801

Окружность вписана в угол $B,$ равный $60∘.$ Найдите расстояние от вершины угла до центра этой окружности, если расстояние между точками касания окружности и сторон угла равно $2√3.$

Показать ответ и решение

Обозначим точки касания окружности и сторон угла за $A$ и $C.$ Тогда известно, что $AC = 2√3.$ Пусть также $O$ — центр окружности. То есть необходимо найти $OB.$

$PIC$

$OA$ — радиус окружности, причем $OA ⊥ BA$ (т.к. $BA$ — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Рассмотрим треугольник $ABC :$ он равнобедренный ( $AB = BC$ как отрезки касательных, проведенных из одной точки), следовательно,

∠A = ∠C = 0,5 ⋅(180∘− 60∘) =60∘

Таким образом, он равносторонний, следовательно, $√ - AB =AC = 2 3.$

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть $∘ ∠ABO = 30 .$ Тогда из прямоугольного треугольника $ABO :$

√- cos30∘ = BA = 2-3- ⇒ OB = 2√3⋅√2- =4 OB OB 3

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#802

В ромб со стороной $8$ вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если площадь ромба равна $10.$

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ $AB = 8,$ $O$ — центр окружности, вписанной в этот ромб. Т.к. центр окружности, вписанной в многоугольник, лежит на пересечении биссектрис его углов, то $O$ — точка пересечения диагоналей ромба (т.к. они являются биссектрисами углов ромба). Пусть $K$ — точка касания окружности со стороной $AB.$ Тогда $OK = r$ — радиус окружности.

$PIC$

Рассмотрим треугольники $OKA$ и $OBA.$ Они подобны по двум углам. Следовательно,

OK-= OA- ⇒ r = OK = OA-⋅OB OB AB AB

Т.к. площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то

1 1 S = 2 ⋅AC ⋅BD = 2 ⋅2OA ⋅2OB = 2OA ⋅OB = 10

Отсюда $OA ⋅OB = 5.$ Следовательно,

r = 5 = 0,625. 8

Ответ: 0,625

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1059

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как $2:3 :6.$ Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 54.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим рисунок. Так как четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, четвертая сторона равна $(2x+ 6x)− 3x = 5x.$ Тогда можно составить уравнение:

2x +3x +6x + 5x = 54 ⇔ 6x= 20,25

(большая сторона равна $6x$ )

Ответ: 20,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1150

Сторона ромба равна $1,$ острый угол равен $30∘.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот ромб.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно $S =p ⋅r,$ где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

2 Sромб = S =a ⋅sinα,

где $a$ — сторона ромба, $α$ — его угол.

Следовательно,

2 1 1 S = 1 ⋅2 = 2

Полупериметр ромба равен $2.$ Тогда

r = S-= 0,25 p

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1151

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 4, BC = 3,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус вписанной окружности.

$PIC$

Показать ответ и решение

Известно, что для любого треугольника

S△ = p⋅r

Здесь $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

В нашем случае получаем

S △ = 0,5⋅3⋅4 =6

Гипотенуза по теореме Пифагора равна

∘------ 32+ 42 = 5

Следовательно, искомый радиус равен

r = S-=-----6----- = 1 p 0,5(3+ 4+ 5)

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1152

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны $5,$ основание равно $6.$ Найдите радиус вписанной окружности.

$PIC$

Показать ответ и решение

Известно, что для любого треугольника $S△ = p⋅r,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности. В нашем случае по формуле Герона (полупериметр $p= 8$ )

√ -------- S△ = 8⋅3⋅3⋅2= 4 ⋅3 = 12

Следовательно,

r = S= ----12-----= 1,5 p 0,5(5+ 5+ 6)

Ответ: 1,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2073

В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром в точке $O,$ причем $∠AOB =110∘.$ Найдите $∠C$ треугольника $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то $AO,BO$ — биссектрисы углов $A,B$ соответственно. Тогда в треугольнике $ABO$ имеем:

∘ ∘ ∘ ∠BAO + ∠ABO =180 − 110 = 70

Следовательно, получаем

∘ ∠A + ∠B = 2⋅(∠BAO + ∠ABO ) =140

Значит, искомый угол равен

∘ ∘ ∘ ∘ ∠C = 180 − (∠A + ∠B )= 180 − 140 = 40

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2094

Окружность вписана в угол $B,$ равный $60∘.$ Найдите радиус этой окружности, если расстояние между точками касания окружности и сторон угла равно $3√3.$

Показать ответ и решение

Обозначим точки касания окружности и сторон угла за $A$ и $C.$ Тогда известно, что $AC = 3√3.$ Пусть также $O$ — центр окружности.

$PIC$

Тогда $OA$ — радиус окружности, причем $OA ⊥ BA$ (т.к. $BA$ — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

∠A = ∠C = 0,5 ⋅(180∘− 60∘) =60∘

Таким образом, он равносторонний, следовательно, $√ - AB =AC = 3 3.$

√- tg30∘ = OA-= O√A-- ⇒ OA = 3√3 ⋅-3-= 3 BA 3 3 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2095

Окружность вписана в угол $B,$ равный $90∘.$ Найдите расстояние от вершины угла до центра этой окружности, если радиус этой окружности равен $√2.$

Показать ответ и решение

Обозначим одну из точек касания окружности и сторон угла за $A.$ Пусть также $O$ — центр окружности. То есть необходимо найти $OB.$

$PIC$

$√- OA = 2$ — радиус окружности, причем $OA ⊥ BA$ (т.к. $BA$ — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

∘ ------------- OB = ∘OA2--+AB2-= (√2)2 +(√2-)2 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2096

Окружность вписана в угол $B,$ равный $90∘,$ причем $A, C$ — точки касания окружности со сторонами этого угла. Найдите площадь треугольника $ABC,$ если радиус этой окружности равен $10√2.$

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности.

$PIC$

$√- OA = 10 2$ — радиус окружности, причем $OA ⊥ BA$ (т.к. $BA$ — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть $∘ ∠ABO = 45 .$ Тогда прямоугольный треугольник $ABO$ является равнобедренным, то есть $√ - AB = OA =10 2.$ Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $√- BC = AB = 10 2.$ Следовательно, площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна

√ - √- S△ABC = 1 ⋅AB ⋅BC = 1 ⋅10 2⋅10 2 =100. 2 2

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2097

Окружность вписана в угол $B,$ равный $90∘,$ причем $A, C$ — точки касания окружности со сторонами этого угла. Найдите $AC,$ если радиус этой окружности равен $5√2.$

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности.

$PIC$

$√- OA = 5 2$ — радиус окружности, причем $OA ⊥BA$ (т.к. $BA$ — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть $∘ ∠ABO = 45 .$ Тогда прямоугольный треугольник $ABO$ является равнобедренным, то есть $√ - AB = OA = 5 2.$ Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $√- BC = AB = 5 2.$ Следовательно, по теореме Пифагора

∘ ---------- √ ----- √ - √- √- AC = AB2+ BC2 = 2AB2 =AB ⋅ 2= 5 2 ⋅ 2= 10

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2098

Около окружности, радиус которой равен $4,$ описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна $20.$ Найдите периметр этого треугольника.

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ( $∠C = 90∘$ ), $AB =20.$ Пусть $O$ — центр вписанной в него окружности. Пусть также $A1, B1, C1$ — точки касания на сторонах $BC, AC, AB$ соответственно.

$PIC$

Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то

AC1 = AB1 = x; BC1 = BA1 = y; CA1 = CB1

Заметим также, что радиусы $OB1$ и $OA1$ перпендикулярны $AC$ и $BC$ соответственно (как радиусы, проведенные в точку касания). Следовательно, $CB1OA1$ — прямоугольник (четырехугольник, имеющий три прямых угла). Но т.к. его смежные стороны равны, то это – квадрат. Следовательно,

CA1 =CB1 = 4

Тогда периметр треугольника равен:

AB + BC + CA = (x+ y)+ (y + 4)+ (4+ x)= = 2(x + y)+4 +4 = 2⋅20+ 8= 48

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2393

К окружности, вписанной в треугольник $ABC,$ проведены три касательные, параллельные сторонам треугольника. Периметры отсеченных треугольников равны $5,6$ и $7.$ Найдите периметр треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим рисунок. Пусть $A1, B1, C1$ –= точки касания сторон треугольника $ABC$ с окружностью. $A′, B ′, C′$ — точки на окружности, через которые проведены касательные параллельно сторонам треугольника. Получились треугольники $AMN, BLK, CP R.$ Пусть $PAMN = 5, PBLK = 6, PCPR = 7.$

Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $MA ′ = MC1, NA ′ =NB1.$ Следовательно,

PAMN = AM + MA ′+ NA ′+ AN = =AM + MC1 + NB1 + AN = AC1 + AB1 = 5

Аналогично для других треугольников:

PBLK = BC1 + BA1 = 6 PCPR = CA1 + CB1 = 7

Следовательно,

PABC = (AC1 + AB1)+ (BC1 + BA1)+ (CA1+ CB1 )= 5+ 6+ 7= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2498

Сторона правильного треугольника равна $√3.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

$PIC$

Показать ответ и решение

1 способ.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть $H$ — точка касания окружности со стороной $AB$ (то есть $OH$ — радиус). Следовательно, $OH ⊥ AB$ (как часть высоты) и $OH = 13CH$ (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины).

$PIC$

Если $√ - AC = 2x = 3,$ то $AH = x,$ следовательно, $√--2---2 √ - CH = 4x − x = x 3,$ тогда

√- OH = 1⋅CH = 1⋅√3-⋅-3-= 0,5 3 3 2

2 способ.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $√- -3-2 S = 4 a .$ Тогда по формуле $S = p⋅r,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности, имеем:

√- √ - S- -----34-⋅(-3)2---- r = p = 0,5(√3+ √3 + √3) = 0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2499

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $√3 6-.$ Найдите сторону этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

1 способ.

$PIC$

Если $AC =2x,$ то $AH = x,$ следовательно, $√ --2---2 √- CH = 4x − x = x 3,$ тогда

√ - √- --3= OH = 1⋅CH = -3x ⇒ x= 1 ⇒ AC = 2x = 1 6 3 3 2

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $√- -3-2 S = 4 a.$ Тогда по формуле $S =p ⋅r,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности, имеем:

√ - --3a2 = 3a⋅r ⇒ a = 2√3r = 1 4 2

Ответ: 1

Предыдущий раздел

Следующий раздел