Решение задач на проценты
Основные моменты:
\(\blacktriangleright\) Процент – это число, равное \(\frac{1}{100}\) части от данного числа.
\(\blacktriangleright\) Пример: \(13\%\) от числа \(N\) равно:
Способ 1: \(\dfrac{N}{100}\cdot 13\) (где \(\frac{N}{100}\) – сотая часть числа \(N\), а значит \(\frac{N}{100}\cdot 13\) – тринадцать таких частей.)
Способ 2: \(0,13N\) (то есть перевести процент в так называемый “десятичный вид”: \(\frac{13}{100}=0,13\))
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), нужно найти \(\dfrac{A}{B}\cdot 100 \%\).
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, на сколько процентов число \(A\) больше (меньше) числа \(B\), нужно найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), а затем из этого количества процентов отнять \(100\%\) (из \(100\%\) отнять найденное количество процентов).
Авиабилет стоит 12000 рублей. Двум пассажирам из группы в десять человек была сделана скидка в 6\(\%\). Сколько в сумме отдали эти 10 пассажиров за перелёт?
Билет со скидкой стоит \(12000 \cdot (1 - 0,06) = 11280\) рублей. Из группы в десять человек двое летели со скидкой, остальные восемь платили по 12000 рублей за билет. В сумме эти 10 пассажиров отдали \(12000 \cdot 8 + 11280 \cdot 2 = 118560\) рублей.
Артём считает ворон. Он пришёл к выводу, что в данный момент около его окна кружит \(55\) ворон. Известно, что Артём ошибся и на самом деле количество этих самых ворон на \(20\%\) больше, чем насчитал Артём. Сколько ворон кружит около окна Артёма в данный момент?
На самом деле искомое количество ворон равно \(55\cdot (1 + 0,2) = 66\).
Аня купила 10 яблок и несколько груш, причем яблоки составляют 40\(\%\) от всех фруктов. Сколько груш купила Аня?
Пусть всего было \(x\) груш, тогда всего фруктов \(10+x\). Так как яблоки составляют \(40\%\) от всех фруктов, то получаем следующее уравнение \[(10+x)\cdot 0,4=10\quad\Rightarrow\quad x=15.\]
Масса топлива ракеты до старта составляла 280 тонн. Через некоторое время часть топлива сгорела и масса оставшегося топлива стала 238 тонн. На сколько процентов уменьшилась масса топлива?
Сгорело \(280 - 238 = 42\) тонны топлива. Чтобы найти, сколько процентов от 280 составляет 42, надо разделить 42 на 280 и умножить на 100\(\%\): \(42 : 280 \cdot 100\% = 15\%\).
Масса палки колбасы до того, как её заметил Артем Я., составляла 1,2 килограмма. Артем Я. кое-что сделал с колбасой, после чего масса оставшейся части палки колбасы стала 0,75 килограмма. На сколько процентов уменьшилась масса палки колбасы?
Артем Я. куда-то дел \(1,2 - 0,75 = 0,45\) килограмма колбасы. Чтобы найти, сколько процентов от 1,2 составляет 0,45, надо разделить 0,45 на 1,2 и умножить на 100\(\%\): \(0,45 : 1,2 \cdot 100 \% = 37,5\%\).
Объем воды в графине до того, как его заметил Коля, составлял 2 литра. Коля выпил часть воды так, что оставшийся объем составил 1,3 литра. На сколько процентов уменьшился объем воды в графине?
Коля выпил \(2 - 1,3 = 0,7\) литра воды. Чтобы найти, сколько процентов от 2 составляет 0,7, надо разделить 0,7 на 2 и умножить на 100\(\%\): \(0,7 : 2 \cdot 100\% = 35\%\).
Билет в кино стоит 500 рублей. Двум киноманам из группы в пять человек была сделана скидка в 1\(\%\). Сколько в сумме отдали эти 5 киноманов за сеанс в кино?
Билет со скидкой стоит \(500 \cdot (1 - 0,01) = 495\) рублей. Из группы в пять человек двое шли со скидкой, остальные трое платили по 500 рублей за билет. В сумме эти 5 киноманов отдали \(500 \cdot 3 + 495 \cdot 2 = 2490\) рублей.
Уметь правильно и быстро решать текстовые задачи на проценты необходимо не только учащимся, которым предстоит сдача ЕГЭ по математике базового или профильного уровня, но и всем взрослым, поскольку подобные задания постоянно встречаются в повседневной жизни. Повышение цен, планирование семейного бюджета, выгодное вложение финансовых средств и множество других вопросов невозможно уладить без данных навыков. При подготовке к сдаче аттестационного испытания обязательно нужно повторить, как решать задачи на проценты: в ЕГЭ по математике они встречаются как в базовом, так и в профильном уровне.
Необходимо запомнить
Процент — это \(\frac{1}{100}\) часть от какого-либо числа. Обозначает долю чего-либо по отношению к целому. Письменный символ — \(\%\). При подготовке к ЕГЭ по теме «Проценты» школьникам как в Москве, так и в других точках РФ необходимо запомнить следующую формулу:
\[1\%= \frac{1}{100}=0.01\]Как ее применить?
Для того чтобы решить простое задание с процентами в ЕГЭ по математике, нужно:
- Разделить имеющееся число на \(100\).
- Умножить полученное значение на то количество \(\%\), которое нужно найти.
Например, для того чтобы вычислить \(10\%\) от числа \(300\), нужно найти \(1\) процент, разделив \(300:100=3\). И полученное от предыдущего действия число \(3\cdot10=30\). Ответ: \(30\).
Это простейшие задания. Учащиеся 11 класса в ЕГЭ сталкиваются с необходимостью выполнить решение сложных задач на проценты. Как правило, речь в них идет о банковских вкладах или платежах. Ознакомиться с формулами и правилами их применения вы можете, перейдя в раздел «Теоретическая справка». Здесь вы сможете не только повторить основные определения, но и познакомиться с вариантами решения сложных задач на проценты по банковскому кредиту, а также с упражнениями из других разделов алгебры, например, задачами на перевод единиц измерения, которые встречаются в ЕГЭ.
