Решение задач на проценты (страница 6)
Основные моменты:
\(\blacktriangleright\) Процент – это число, равное \(\frac{1}{100}\) части от данного числа.
\(\blacktriangleright\) Пример: \(13\%\) от числа \(N\) равно:
Способ 1: \(\dfrac{N}{100}\cdot 13\) (где \(\frac{N}{100}\) – сотая часть числа \(N\), а значит \(\frac{N}{100}\cdot 13\) – тринадцать таких частей.)
Способ 2: \(0,13N\) (то есть перевести процент в так называемый “десятичный вид”: \(\frac{13}{100}=0,13\))
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), нужно найти \(\dfrac{A}{B}\cdot 100 \%\).
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, на сколько процентов число \(A\) больше (меньше) числа \(B\), нужно найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), а затем из этого количества процентов отнять \(100\%\) (из \(100\%\) отнять найденное количество процентов).
В прошлом году цена рубашки составляла 1300 рублей, а цена футболки 700 рублей. В этом году цена рубашки выросла на 35\(\%\), а цена футболки выросла на 29\(\%\). На сколько процентов больше нужно заплатить за комплект из рубашки и футболки в этом годупо сравнению с прошлым годом?
Рубашка теперь стоит \(1300 \cdot (1 + 0,35) = 1755\) рублей. Футболка стала стоить \(700 \cdot (1 + 0,29) = 903\) рубля. Рубашка и футболка вместе стоят \(1755 + 903 = 2658\) рублей. В прошлом году комплект стоил \(1300 + 700 = 2000\) рублей, тогда его цена увеличилась в этом году на \(\dfrac{2658}{2000}\cdot 100\% - 100\% = 32,9\%\).
В прошлом году цена куртки составляла 6000 рублей, а цена брюк 4000 рублей. В этом году цена куртки выросла на 24\(\%\), а цена брюк выросла на 26\(\%\). Сколько теперь стоят куртка и брюки вместе?
Куртка теперь стоит \(6000 \cdot (1 + 0,24) = 7440\) рублей. Брюки стали стоить \(4000 \cdot (1 + 0,26) = 5040\) рублей. Куртка и брюки вместе стоят 7440 + 5040 = 12480 рублей.
В прошлом году цена трусов составляла 250 рублей, а цена пары носков 50 рублей. В этом году цена трусов выросла на 20\(\%\), а цена пары носков выросла на 10\(\%\). На сколько процентов больше нужно заплатить за комплект из двух трусов и десяти пар носков в этом году, чем в прошлом?
Трусы теперь стоят \(250 \cdot (1 + 0,2) = 300\) рублей. Пара носков стала стоить \(50 \cdot (1 + 0,1) = 55\) рублей. Комплект из двух трусов и десяти пар носков стоит \(2\cdot 300 + 10\cdot 55 = 1150\) рублей. В прошлом году такой комплект стоил \(2\cdot 250 + 10\cdot 50 = 1000\) рублей, тогда его цена увеличилась в этом году на \(\dfrac{1150}{1000}\cdot 100\% - 100\% = 15\%\).
В прошлом году в кинотеатре “Фильм” цена большого ведра попкорна составляла 200 рублей, а цена банки колы 50 рублей. В этом году цена большого ведра попкорна выросла на 27\(\%\), а цена банки колы выросла на 18\(\%\). На сколько процентов больше нужно заплатить за набор из трёх больших вёдер попкорна и восьми банок колы в этом году, чем в прошлом?
Большое ведро попкорна теперь стоит \(200 \cdot (1 + 0,27) = 254\) рубля. Банка колы стала стоить \(50 \cdot (1 + 0,18) = 59\) рублей. Набор из трёх больших вёдер попкорна и восьми банок колы стоит \(3\cdot 254 + 8\cdot 59 = 1234\) рубля. В прошлом году такой набор стоил \(3\cdot 200 + 8\cdot 50 = 1000\) рублей, тогда его цена увеличилась в этом году на \(\dfrac{1234}{1000}\cdot 100\% - 100\% = 23,4\%\).
В 2014 году цена накладки на ракетку для настольного тенниса Donic Desto F3 составляла 1350 рублей, а цена основания для ракетки Butterfly Timo Boll Forte была 1800 рублей. В 2016 году цена накладки Donic Desto F3 выросла на 100\(\%\) относительно 2014 года, а цена основания Butterfly Timo Boll Forte на 125\(\%\). На сколько процентов больше нужно заплатить за набор из двух накладок Donic Desto F3 и одного основания Butterfly Timo Boll Forte в 2016 году, чем в 2014?
Накладка Donic Desto F3 теперь стоит \(1350 \cdot (1 + 1) = 2700\) рублей. Основание Butterfly Timo Boll Forte стало стоить \(1800 \cdot (1 + 1,25) = 4050\) рублей. Набор из двух накладок Donic Desto F3 и основания Butterfly Timo Boll Forte стоит \(2\cdot 2700 + 4050 = 9450\) рублей. В 2014 году такой набор стоил \(2\cdot 1350 + 1800 = 4500\) рублей, тогда его цена увеличилась в 2016 году на \(\dfrac{9450}{4500}\cdot 100\% - 100\% = 110\%\).
В понедельник Ивана повысили, вследствие чего его зарплата выросла на \(10\%\). Во вторник Ивана снова повысили, в следствие чего его зарплата снова выросла на \(10\%\). В среду Иван взял ипотеку, и теперь он должен каждый месяц отдавать \(20\%\) зарплаты банку. Иван не сказал жене ни о повышениях, ни об ипотеке. Раньше Иван всю зарплату отдавал жене, теперь он отдаёт жене всю зарплату, остающуюся после уплаты ипотеки. На сколько процентов, по мнению жены, упала зарплата Ивана?
Пусть изначальная зарплата Ивана составляла \(S\), тогда в понедельник его зарплата составила \(S\cdot (1 + 0,1) = 1,1\cdot S\). Во вторник зарплата Ивана составила \(1,1\cdot S\cdot (1 + 0,1) = 1,21\cdot S\). После уплаты ипотеки Иван относит жене \(1,21\cdot S\cdot (1 - 0,2) = 0,968\cdot S\). Таким образом, по мнению жены, новая зарплата Ивана составляет от старой \[\dfrac{0,968\cdot S}{S}\cdot 100\% = 96,8\%\,,\] следовательно, по мнению жены, зарплата Ивана упала на \(100\% - 96,8\% = 3,2\%\).
