Решение задач на проценты (страница 5)
Основные моменты:
\(\blacktriangleright\) Процент – это число, равное \(\frac{1}{100}\) части от данного числа.
\(\blacktriangleright\) Пример: \(13\%\) от числа \(N\) равно:
Способ 1: \(\dfrac{N}{100}\cdot 13\) (где \(\frac{N}{100}\) – сотая часть числа \(N\), а значит \(\frac{N}{100}\cdot 13\) – тринадцать таких частей.)
Способ 2: \(0,13N\) (то есть перевести процент в так называемый “десятичный вид”: \(\frac{13}{100}=0,13\))
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), нужно найти \(\dfrac{A}{B}\cdot 100 \%\).
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, на сколько процентов число \(A\) больше (меньше) числа \(B\), нужно найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), а затем из этого количества процентов отнять \(100\%\) (из \(100\%\) отнять найденное количество процентов).
Мама купила к школьному новогоднему празднику 32 кг фруктов, причем из них 37,5\(\%\) — зеленых яблок, а остальные — цитрусовые (мандарины, лимоны и апельсины). Лимонов мама купила 5 кг. Мама разрешила своим детям съесть до Нового года 20\(\%\) от всех оранжевых фруктов, а все остальные фрукты до Нового года есть нельзя. Сколько килограмм фруктов можно съесть?
Так как зеленых яблок – 37,5\(\%\) от общего числа фруктов, то цитрусовых \(100\%-37,5\%=62,5\%\) от всех фруктов. Следовательно, цитрусовых мама купила \(32\cdot 0,625=20\) кг. Из них 5 кг лимонов, следовательно, мандаринов и апельсинов \(20-5=15\) кг. Только мандарины и апельсины – оранжевые фрукты, которые купила мама. Из них можно съесть 20\(\%\). Следовательно, детям можно съесть \(15\cdot 0,2=3\) кг фруктов.
Городские жители делятся на три категории: дети (до 16 лет), взрослые (от 16 до 60 лет) и пожилые (от 60 лет). Дети составляют 60\(\%\) всего населения, а пожилые – 20\(\%\). Никто из пожилых людей не учится, а среди взрослых и детей учатся 75\(\%\). Известно, что 50\(\%\) всего населения составляют учащиеся дети – и это 4200 человек. Найдите количество неучащихся жителей.
Пусть \(x\) – это количество всех жителей. Тогда \(0,6x\) – число детей, \(0,2x\) – число пожилых людей, следовательно, \(x-0,6x-0,2=0,2x\) – число взрослых. Среди детей, как и среди взрослых, есть учащиеся и неучащиеся. Все пожилые не учатся, следовательно, можно составить следующую схему:
Так как всего взрослых и детей \(0,2x+0,6x=0,8x\) и среди них учится \(75\%\), то это \(0,75\cdot (0,8x)\) жителей (то есть это количество всех учащихся жителей).
Также известно, что учащиеся дети составляют \(50\%\) от \(x\), то есть их количество равно \(0,5x\). По условию их \(4200\), следовательно, \(0,5x=4200\), откуда \(x=8400\).
Следовательно, число учащихся жителей равно \(0,75\cdot 0,8\cdot
8400=5040\). Тогда число неучащихся жителей равно \(8400-5040=3360\).
В магазине продаются ручки, карандаши и фломастеры — всего 1000 предметов. Ручки составляют 35\(\%\) от всех предметов, а карандаши — 45\(\%\). Известно, что 76\(\%\) фломастеров — синего цвета, а остальные — красные. Сколько красных фломастеров?
Так как всего предметов – 100\(\%\), то фломастеров \(100\%-35\%-45\%=20\%\). Следовательно, фломастеров \(1000\cdot 20:100=200\) штук. Так как среди фломастеров 76\(\%\) синего цвета, то красного – \(100\%-76\%=24\%\). Следовательно, красных фломастеров \(200\cdot 24:100=48\) штук.
В школу привезли 100000 учебников, причем 20\(\%\) и 45\(\%\) из них — это учебники по русскому языку и математике соответственно, а остальные — по иностранным языкам. Из всех учебников не по иностранным языкам 13\(\%\) отошло начальным классам, а остальные — старшим. Все учебники по иностранным языкам отошли старшим классам. Сколько учебников отдали старшим классам?
Всего учебников не по иностранным языкам \(20\%+45\%=65\%\) от всех учебников. Следовательно, всего \(100\,000\cdot 0,65=65\,000\) учебников не по иностранным языкам. Так как \(13\%\) от них отошло начальным классам, то \(100\%-13\%=87\%\) от них отошло старшим классам. Следовательно, у старших классов \(65\,000\cdot
0,87=56\,550\) учебников по математике и русскому языку.
Учебников по иностранным языкам \(100\,000-65\,000=35\,000\). Следовательно, всего старшим классам отдано \(35\,000+56\,550=91\,550\) учебников.
В парке посажены три вида деревьев: березы, дубы и клены. Березы составляют 24\(\%\) от всех деревьев, 880 деревьев — это дубы, а всего деревьев — 1375 штук. Сколько процентов составляют клены от всех деревьев?
1 способ.
Так как березы составляют \(24\%\) от 1375 деревьев, то берез \(1375\cdot 0,24=330\) штук. Следовательно, кленов \(1375-330-880=165\) штук. Тогда количество процентов, которое составляют клены от всех деревьев, равно \[\dfrac{165}{1375}\cdot 100\%=12\%\]
2 способ.
Дубы составляют от общего числа деревьев \[\dfrac{880}{1375}\cdot
100\%=64\%\] Следовательно, клены составляют \(100\%-24\%-64\%=12\%\).
У Тани есть пятирублевые и десятирублевые монетки — всего 100 штук. Часть из них лежит в одном кармане, а часть в другом. Известно, что в первом кармане лежит 35\(\%\) от всех монет. Известно также, что 20\(\%\) монет из второго кармана — пятирублевые. Сколько десятирублевых монет лежит во втором кармане?
Так как в первом кармане лежит \(35\%\) всех монет, то во втором – \(100\%-35\%=65\%\) от всех монет. Следовательно, во втором кармане \(100\cdot 0,65=65\) монет. Так как пятирублевых монет во втором кармане \(20\%\), то десятирублевых \(100\%-20\%=80\%\). Следовательно, во втором кармане \(65\cdot 0,8=52\) десятирублевых монет.
В магазин завезли 750 товаров продукции Apple. Треть из них - устройства iPhone, 300 товаров — MacBook, а остальная продукция - iPad. Часть этих товаров оказалась бракованной, поэтому ее пришлось продавать со скидкой. Известно, что среди устройств iPhone 2\(\%\) товаров были бракованы, среди устройств MacBook — 3 штуки, а всего бракованных товаров 16 штук. Сколько оказалось бракованных устройств iPad?
Так как треть продукции – устройства iPhone, то их \(750:3=250\) штук. Из них 2\(\%\) – бракованные, следовательно, бракованных iPhone’ов \(250\cdot 0,02=5\) штук.
Так как всего 16 бракованных товаров, 5 – iPhone, 3 – MacBook, то бракованных устройств iPad всего \(16-5-3=8\) штук.
