Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Конденсатор с диэлектриками —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30722

Плоский конденсатор с площадью пластин $S$ и расстоянием между ними $d$ заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $𝜀$ .
1) Найдите ёмкость такого конденсатора.
2) Найдите величину и знак заряда, индуцированного на поверхности диэлектрика у положительной пластины конденсатора, если заряд конденсатора равен $q$ .

Показать ответ и решение

1) Ёмкость конденсатора находится по формуле:

𝜀𝜀0S- C = d

2) Определим эту же емкость из электрического поля, создающего напряжение:

∗ q- -q- --q--- -q-𝜀0- 𝜀0𝜀S- C = U = Ed = 2d-σ-= dq−Δq- = d 2𝜀0 S

отсюда имеем

𝜀-−-1 q = 𝜀q − 𝜀Δq ⇒ Δq = q 𝜀

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30723

Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника постоянного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рисунок) так, что диэлектрик заполняет треть объёма конденсатора, из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается в два раза.
1) Как и во сколько раз изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
2) Найдите диэлектрическую проницаемость $𝜀$ материала диэлектрической пластины.
(«Физтех», 2011)

Показать ответ и решение

Если конденсатор без диэлектрика равна $C$ , то накопленный на нём заряд равен $q = CU$ . Заполненный на треть диэлектриком конденсатор можно представить в виде двух параллельно включённых конденсаторов: один с ёмкостью $2C- 3$ , а второй – ёмкостью $𝜀C- 3$ . По условию разность потенциалов уменьшилась в 2 При этом заряд на каждом из новых конденсаторов равен

CU 𝜀CU q1 = ----; q2 = ----- 3 6

Также из закона сохранения заряда

q = q1 + q2

Откуда

CU = CU--+ 𝜀CU--⇒ 6 = 2 + 𝜀 ⇒ 𝜀 = 4 3 6

Начальная напряженность равна

U- E1 = d

Конечная

E = U-- 2 2d

Тогда

E2- = 1- E1 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30724

Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения. Не отключая источника, в конденсатор вставляют пластину из диэлектрика (см. рисунок), толщина которой равна 4/5 расстояния между пластинами конденсатора (диэлектрик заполняет 4/5 объёма конденсатора), из-за чего заряд на пластинах конденсатора увеличивается в три раза.
1) Как и во сколько раз изменилась напряжённость электрического поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
2) Найдите диэлектрическую проницаемость $𝜀$ материала диэлектрической пластины.
(«Физтех», 2011)

Показать ответ и решение

Конденсатор с диэлектриком можно представить как два последовательных конденсатора. Ёмкость воздрушного конденсатора увеличится в 5 раз и будет равно $5C$ , так как расстояние между пластинами уменьшится в 5 раз, а ёмкость с диэлектриком $5𝜀C 4$ . Тогда общяя ёмкость нового конденсатора

5C ⋅ 5𝜀C C ′ =------4----= 5-𝜀C- 5- 4 + 𝜀 5C + 4 𝜀C

Заряд до ввода диэлектрика $q = CU$ , а ёмкость после соединения

q′ = 5-𝜀C-U 4 + 𝜀

По условию $′ q = 3q$ , тогда

-5𝜀C- = 3CU ⇒ 5𝜀 = 12 + 3𝜀 ⇒ 𝜀 = 6 4 + 𝜀

Так как заряд увеличился в 3 раза, то и напряженность увеличится в 3 раза.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#30725

Две одинаковые половины плоского конденсатора заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями $𝜀1$ и $𝜀2$ (см. рисунок). Заряд на обкладках конденсатора равен $Q$ . Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда верхнего диэлектрика у левой обкладки конденсатора.
(МФТИ, 2006)

Показать ответ и решение

Напряжённость электрического поля между обкладками конденсатора складывается из напряжённостей полей зарядов на обкладках и поляризационного заряда диэлектрика. Для верхней половины конденсатора по принципу суперпозиции полей $E = E ′ − E ′ 1 1$ . Здесь $E ′$ – напряжённость в отсутствие диэлектрика при тех же зарядах $Q$ , а $E′1$ – напряжённость поля поляризационного заряда. Учтено, что индуцированный заряд слева на диэлектрике отрицательный. Аналогично в нижней половине конденсатора $E2 = E ′′ − E′2$ . Значения $E′$ и $E ′′$ различны, так как при поляризации различных диэлектриков произошло перераспределение зарядов на обкладках конденсатора.
Учитывая, что

E ′= -q1; E ′ = Q1-; E1 = -Q1--. 1 𝜀0S 𝜀0S 𝜀0𝜀1S

Здесь $Q 1$ – заряд верхней половины пластин, $q 1$ – индуцированный заряд верхнего диэлектрика, а $S$ – площадь половинки обкладки. Отсюда

Q1 Q1 q1 ------ = ---- − ---- 𝜀0𝜀1S 𝜀0S 𝜀0S

Откуда

Q1- = Q1 − q1 и q1 = Q1-(𝜀1 −-1) 𝜀1 𝜀1

Аналогично

Q2- = Q2 − q2 𝜀2

Кроме того, $Q + Q = Q 1 2$ и, учитывая $E d = E d 1 2$ или

-Q1---= --Q2--, 𝜀0𝜀1S 𝜀0𝜀2S

получим, опуская алгебраические подробности,

Q1 = -𝜀1Q--- 𝜀1 + 𝜀2

и

q1 = -𝜀1Q---𝜀1 −-1-= Q-(𝜀1 −-1-) 𝜀1 + 𝜀2 𝜀1 𝜀1 + 𝜀2

Знак заряда будет отрицательный.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#30726

Плоский конденсатор с площадью пластин $S$ полностью заполнен двумя слоями диэлектрика с толщинами $d1$ и $d2$ и диэлектрическими проницаемостями $𝜀1$ и $𝜀2$ (см. рисунок). Между обкладками конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов $E$ . Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у нижней обкладки конденсатора
(МФТИ, 2006)

Показать ответ и решение

Пусть $E$ – напряжённость поля, которое было бы о конденсаторе в отсутствие диэлектрика при тех же зарядах на обкладках. Тогда поля в диэлектриках равны соответственно $E E1 = -- 𝜀1$ и $E E2 = -- 𝜀2$ . Из условии $E d + E d = ξ 1 1 2 2$ находим $E$ :

E E ξ 𝜀1 ⋅ 𝜀2 -- d1 + --d2 = ξ ⇒ E = d----d--= ξ----------- 𝜀1 𝜀2 -1-+ -2- 𝜀1d2 + 𝜀2d1 𝜀1 𝜀2

Поле $E2$ складывается из поля $E$ зарядов пластин и поля $E ′2$ связанных зарядов $q′$ на поверхности диэлектрика:

E ( 1 ) 𝜀 − 1 E2 = E − E2′, E ′2 = E − E2 = E − -- = − E -- − 1 = E -2---- 𝜀2 𝜀2 𝜀2

Кроме того

′ σ-′ -q′- E = 𝜀 = 𝜀 S 0 0

Откуда

𝜀 − 1 𝜀 (𝜀 − 1) q′ = S𝜀0E ′ = S𝜀0E -2---- = 𝜀0S ξ--1-2------ 𝜀2 𝜀1d2 + 𝜀2d1

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула напряженности электрического поля	2

Формула напряженности электрического поля в диэлектрике	3

Принцип суперпозиции электрических полей	3

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#30727

Два диска, по которым равномерно распределены заряды $q$ и $− q$ , могут двигаться без трения в длинном непроводящем теплоизолированном цилиндре, расположенном горизонтально (см. рисунок). Расстояние между дисками много меньше их радиуса. Между дисками находится некоторое количество гелия, за дисками газа нет, система находится в равновесии. Заряды дисков мгновенно уменьшают вдвое, после чего ожидают прихода системы в равновесие. Пренебрегая теплообменом, найдите, во сколько раз изменятся температура газа и расстояние между дисками.
(Всеросс., 2015, финал, 10)

Показать ответ и решение

Обозначим через $V, P$ и $T$ начальные значения объёма, давления и температуры газа, $d$ – начальное расстояние между дисками, а те же величины с индексом 1 – те же параметры в конечном состоянии. Так как расстояние между дисками много меньше их радиуса, напряжённость поля диска можно вычислять, считая его равномерно заряженной бесконечной плоскостью:

E = --q--, 2𝜀0S

где $S$ – площадь дисков.
Тогда на второй диск со стороны первого действует силa $F = qE$ :

q2 F = qE = -----. 2𝜀0S

Сила пропорциональна квадрату заряда и не зависит от расстояния между пластинами, поэтому конечное равновесное давление будет в четыре раза меньше начального.
Энергия конденсатора равна

q2 q2d Wc = --- = ----- = F d = P V. 2C 2 𝜀0S

Рассмотрим систему, состоящую из газа и заряженных пластин. Её энергия равна

3- 5- 5- W = P V + 2P V = 2P V = 2νRT.

Энергия системы в конечном равновесном состоянии должна равняться начальной энергии:

5P V = 3P V + PV--⇒ 5-νRT = 7νRT ⇒ T = 7T-. 2 1 1 2 4 2 1 4 1 10

Теперь, используя $P = P ∕4 1$ :

P1V1-= T1-= 7--⇒ d1-= V1- = 14-. P V T 10 d V 5

Полученный ответ подтверждает предположение о малости $d$ в конечном состоянии.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула напряженности электрического поля	2

Формула силы электрической	2

Формула энергии электрического поля конденсатора	2

Формула общей энергии системы	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#41149

В плоский конденсатор ёмкостью $C0$ вдвигается пластинка с диэлектрической проницаемостью $𝜀$ . Конденсатор включён в цепь, представленную на рисунке. Оказалось, что сила тока, протекающего через батарею с ЭДС $ℰ 1$ постоянна и равна $I 0$ . Обе батареи в цепи идеальные. Определите:
1) силу тока, протекающего через резистор с сопротивлением $R1$ ,
2) с какой скоростью движется диэлектрическая пластинка? При расчётах считайте, что $ℰ1$ и $ℰ2$ заданы, $R1 = R2 = R$ , длина пластин конденсатора $C0$ равна $l$ .

(Всеросс., 2020, МЭ-Тула, 11)

Показать ответ и решение

1. Расставим токи, текущие в контуре, содержащем $ℰ2, R1$ и $R2$ (см. рис.), тогда согласно первому и второму правилам Кирхгофа, считая положительным направлением обхода контура по часовой стрелке, будем иметь такую систему уравнений

I1 + I2 = I0, I2R2 − I1R1 = ℰ2, (1)

из которой при $R1 = R2 = R$ определяем силу тока

( ) 1- ℰ2- I1 = 2 I0 − R = const (2 )

2. Запишем закон Ома для цепи, содержащей $ℰ1,R1$ и $C$

UR + UC = ℰ1 → I1R1 + q-= ℰ1 (3) 1 C

Здесь $q$ - заряд на конденсаторе, $C$ - ёмкость конденсатора с вдвигающейся в него диэлектрической пластинкой. Данную ёмкость можно вычислить как ёмкость двух параллельно соединённых конденсаторов. Если обозначить ширину пластин конденсатора через $a$ , то

𝜀0S- 𝜀0al- 𝜀0a(l −-x-) 𝜀0𝜀ax- l −-x 𝜀x- C0 = d = d ; C = d + d = C0 l + C0 l

x → C = C0 + C0 (𝜀 − 1)-- (4) l

Отсюда видно, что ёмкость конденсатора зависит от $x$ , а значит и от времени. Если за время $Δt$ ёмкость конденсатора изменилась на

C0(𝜀-−-1)- ΔC = l Δx (5)

то, разделив на $Δt$ , получим

ΔC C0(𝜀 − 1)Δx C0(𝜀 − 1) ----= -------------= ---------v (6) Δt l Δt l

где $v = Δx ∕Δt −$ искомая скорость движения пластинки. Для её вычисления выразим из (3) заряд конденсатора и найдём его изменение за время $Δt$

Δq ΔC q = (ℰ1 − I1R1 )C → Δq = (ℰ1 − I1R1 )ΔC → ---= (ℰ1 − I1R1 ) ---- (7 ) Δt Δt

С другой стороны

Δq ---= I0 (8) Δt

тогда из (7) и (8) будем иметь такое выражение для $ΔC ∕Δt$

(ℰ − IR ) ΔC--= I → ΔC-- = ----I0---- = const (9) 1 1 1 Δt 0 Δt ℰ1 − I1R1

Отсюда и из (6) видно, что скорость движения пластинки постоянна. Подставляя (9) в (6), при $R1 = R$ , с учётом (2), получаем окончательный результат

v = ---------I0l-------- = -----------2I0l----------- C0 (𝜀 − 1)(ℰ1 − I1R) C0(𝜀 − 1)(2ℰ1 + ℰ2 − I0R )

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#50052

В воздушный конденсатор ёмкости $C0$ вставлена пластина с диэлектрической проницаемостью $𝜀$ . Диэлектрик заполняет весь объём конденсатора. Конденсатор подключён к батарее с ЭДС $ℰ$ через резистор $R$ (рис.). Пластину быстро вынимают из конденсатора, так что его начальный заряд не успевает измениться. После этого начинается процесс перезарядки конденсатора. Найдите:
1) механическую работу, совершаемую внешней силой против сил электрического поля при извлечении пластины из конденсатора;
2) изменение электрической энергии конденсатора в процессе перезарядки;
3) работу батареи;
4) количество теплоты, выделившееся на резисторе $R$ .

(Всеросс., 1998, финал, 10)

Показать ответ и решение

1. При удалении диэлектрика из конденсатора его энергия изменяется на

(C0𝜀ℰ)2 (C0𝜀ℰ-)2 C0-𝜀ℰ-2 ΔW1 = W1 − W0 = 2C0 − 2𝜀C0 = 2 (𝜀− 1).

Работа батареи $A бат = 0$ , так как $Δq = 0$ . Из закона сохранения энергии механическая работа, совершаемая внешней силой

A мех = ΔW1.

2. В процессе перезарядки конденсатора заряд изменяется на

Δq = − C0ℰ (𝜀− 1),

а его энергия на

ΔW = W − W = (C0-ℰ)2− (C0𝜀ℰ-)2 = − C0ℰ2(𝜀2 − 1). 2 2 1 2C0 2C0 2

3. Работа батареи в процессе перезарядки равна

2 A бат = Δqℰ = − C0ℰ (𝜀− 1).

4. Из закона сохранения энергии находим количество теплоты, выделившееся на резисторе:

C0ℰ-2 2 Q = Aбат − ΔW2 = 2 (𝜀 − 1)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92134

Стенка нейрона состоит из эластичной двуслойной липидной мембраны, которая сопротивляется сжатию так же, как пружина. Она имеет эффективную жесткость $k$ и равновесную толщину $d0$ . Локально рассмотрим участок мембраны, имеющий незначительную кривизну, у которого площадь поверхности каждого из двух слоев равна $S$ . В стенках клетки находятся специальные белковые ионные помпы, которые могут перемещать различные ионы через мембрану. В результирующем заряженном состоянии в межклеточной среде положительный и отрицательный ионный заряд равномерно распределяется вдоль внешней и внутренней поверхностей мембраны соответственно. После того как ионные насосы проделали некоторую работу, на внешней и внутренней поверхностях наводится заряд, поэтому толщина мембраны изменяется до некоторого нового значения. Предположим, что ионные помпы включаются, когда мембрана незаряжена, а мембрана заряжается достаточно медленно (квазистатически). Помпы прекращают работу в случае, если разность напряжений на мембране станет больше определенного порогового значения Vn. Насколько должна быть велика жесткость пружины $k$ , чтобы ионные помпы отключились до того, как мембрана разрушится? Диэлектрическая проницаемость мембраны $𝜀$ .

(«Курчатов», 2021, 10)

Источники: «Курчатов», 2021, 10

Показать ответ и решение

B первую очередь определим напряжение между двумя слоями мембраны нейрона $U = Ed$ . Для этого потребуется определить напряженность электрического поля внутри мембраны и измененное после наведения заряда расстояние между её слоями. Одна пластина площадью $S$ с распределенным на ней зарядом, модуль которого обозначим за $Q$ , согласно теореме Гаусса создает электрическое поле напряженностью

Q E1 = ------. 2𝜀𝜀0S

Значит, сила, возникающая между двумя такими слоями, будет равна

2 F = QE = --Q---. E 1 2 𝜀𝜀0S

Данная сила уравновешивается силой, возникающей при сжатии мембраны: $F = kx k$ , где $x = d0 − d$ . Приравнивая выражения, получим новое расстояние между слоями:

2 d = d0 − --Q----. 2𝜀𝜀0Sk

В свою очередь поле внутри мембраны между слоями характеризуется напряженностью

--Q--- -−-Q-- -Q--- E = 2𝜀𝜀 S − 2𝜀𝜀 S = 𝜀𝜀 S . 0 0 0

Значит, напряжение в области между слоями мембраны равно:

( 2 ) V = Ed = --Q-- d0 − --Q---- 𝜀𝜀0S 2𝜀𝜀0Sk

Как мы видим, данное выражение зависит от модуля заряда $Q$ кубически. Изучив данную функцию, заметим, что с ростом заряда на поверхности мембраны, связанным с работой ионной помпы, напряжение будет расти и достигнет определенного максимума $V max$ , после чего будет уменьшаться. Ионная помпа прекратит работу, если $Vmax > Vn$ , в противном случае помпы продолжат перегонять ионы одного типа на противоположную сторону до тех пор, пока увеличившийся заряд не разрушит клеточную мембрану (в таком случае $d$ станет равно 0). Тогда найдем $Vmax$ , продифференцировав функцию напряжения от заряда (аналогичные рассуждения можно проводить, рассматривая зависимость $V(d)$ ):

2 ∘ ---------- ∘ ------- ( ) 32 ∘----- dV- = --d0- − ---3Q---- = 0 ⇒ Q = 2d0𝜀𝜀0Sk- ⇒ V = 2d0- -2kd0- = 2d0- -k--- dQ 𝜀𝜀0S 2𝜀2𝜀20S2k max 3 max 3 3 𝜀𝜀0S 3 𝜀𝜀0S

Ограничивая полученное выражение с помощью $Vn$ и возводя выражение в квадрат, получим граничное выражение для жесткости $k$ :

( 3)3 V 2𝜀𝜀 S k > -- --n-30--. 2 d0

(Официальное решение Курчатова)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92135

В плоский конденсатор с площадью обкладок $S$ и расстоянием между ними $d$ помещены параллельно обкладкам и напротив них две соприкасающиеся пластины (см. рис.). У одной пластины диэлектрическая проницаемость $𝜖 = 2 1$ , толщина $d∕3$ , у другой пластины $𝜖 = 3 2$ , толщина $d∕4$ . У обеих пластин площадь каждой из двух поверхностей равна $S$ . Конденсатор подключен к источнику с напряжением $U$ .
1. Найти напряженность электрического поля $E$ в левом воздушном зазоре конденсатора.
2. Найти заряд $Q$ положительно заряженной обкладки конденсатора.
3. Найти связанный (поляризационный) заряд $q$ на границе соприкосновения пластин.
Ответы давать с числовыми коэффициентами в виде обыкновенных дробей.
(«Физтех», 2023, 11)

Источники: Физтех, 2023, 11

Показать ответ и решение

1) Рассмотрим напряженность в простанстве между пластинами конденсатора. Заряд перемещается с одной пластины на другую под действием источника, заряды на пластинах равны по модулю и противоположны по знаку. Пластины создают напряженности, сумма которых

Q E0 = 2 ⋅----- 2𝜀0S

Внутри диэлектрика напряженность уменьшается в число раз, равное диэлектрической проницаемости диэлектрика. Тогда напряженности внутри первого и второго диэлектриков:

E0 E1 = --- 𝜀1

E2 = E0- 𝜀2

Суммарное напряжение между пластинами конденсатора равно ЭДС источника, оно складывается из произведений напряженностей на длины учатсков между пластинами:

U = E0 ⋅ (x1 + x2) + E1 ⋅ d+ E2 ⋅ d 3 4

Найдем суммарную длину воздушных зазоров между пластинами:

d- d- 5-- x1 + x2 = d − 3 − 4 = 12d

Тогда напряжение между пластинами:

5 2 1 2 U = E0 ⋅ --d + E0 ⋅ --d + E0 ⋅---d = --E0d 12 12 12 3

Тогда напряженность в воздушном зазоре между пластинами:

3 U E0 = ---- 2 d

2) Суммарная напряженность двух пластин конденсатора:

E = 2 ⋅-Q--- 0 2𝜀0S

Тогда заряд пластин равен

3 U Q = 𝜀0SE0 = -𝜀0S -- 2 d

3) Рассмотрим напряженности внутри диэлектриков, они создаются заряженными пластинами конденсатора, а также зарядами, поляризованными на обкладках диэлектриков. Напряженности от обкладок первого диэлектрика внутри него складываются, а напряженности от обкладок второго диэлектрика внутри первого в сумме дают ноль. Аналогично с напряженностями внутри второго диэлектрика, распишем напряженности внутри диэлектриков и выразим заряды на их обкладках:

2Q 2q E 1 3U -----− ---1-+ 0 = -0-= -⋅ --- 2𝜀0S 2𝜀0S 2 2 2 d

3U- -q1- 3-U- 2d − 𝜀0S = 4 d

q1 = 3𝜀0S U- = 1Q 4 d 2

Q--- -q2- E0- 1-U- 𝜀0S − 𝜀0S + 0 = 3 = 2 d

U 2 q2 = 𝜀0S-- = --Q d 3

Тогда суммарный заряд на соприкасающихся обкладках диэлектриков:

q − q = − 1-Q 1 2 6

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#92136

В центре полого шара с диэлектрической проницаемостью $𝜀$ и радиусами поверхностей $r$ и $R$ находится шарик с зарядом $Q$ (см. рис.). Известна графическая зависимость потенциала $φ$ электрического поля внутри диэлектрика от расстояния $x$ от центра полого шара в интервале изменений $x$ от $R ∕3$ до $2R ∕3$ (см. рис.). Здесь $φ0$ — потенциал в некоторой точке вне шара. Потенциал в бесконечно удаленной точке принят равным нулю.
1) Считая известными $r$ , $R$ , $Q$ , $𝜀$ , найти аналитическое выражение (в виде формулы) для потенциала внутри диэлектрика при $x = 11R ∕12$ .
2) Используя график, найти численное значение $𝜀$ .
(«Физтех», 2024, 11)

Источники: Физтех, 2024, 11

Показать ответ и решение

1) Рассмотрим заряды, поляризованные на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика, по закону сохранения заряда их сумма равна нулю, отсюда:

− q1 + q2 = 0 ⇒ q1 = q2

Напряженность, создаваемая точечным зарядом внутри диэлектрика, в $𝜀$ раз меньше чем в вакууме, она складывается из напряженности точечного заряда и напряженностей поляризованных зарядов, тогда:

kQ kq1 1 kQ --2-− -2--= --⋅ -2-- x x 𝜀 x

1 𝜀 − 1 q1 = q2 = Q − -Q = Q ----- 𝜀 𝜀

Зная величины поляризованных зарядов, можем составить функцию потенциала от расстояния в области диэлектрика. Сложим потенциалы, создаваемые точечным зарядом и поляризованными зарядами в области диэлектрика:

( ) ( ) φ (x) = kQ--− kq1-+ kq2-= kQ--− k-Q 1 − 1- + k-Q 1 − 1- x x R x x 𝜀 R 𝜀

kQ kQ kQ φ (x) = ----+ ----− ---- 𝜀x R 𝜀R

Зная функцию потенциала от расстояния, можем найти значение потенциала на расстоянии $11R- 12$ :

( ) ( ) 11R- kQ-- -12- 1- kQ--1 +-11-𝜀 φ 12 = R 11 𝜀 + 1 − 𝜀 = R 11𝜀

2) Возьмем две точки на графике - $( R-;4φ0) ,( 2R-;3 φ0) 3 3$ - обе точки находятся в области диэлектрика, значит можем подставить их в функцию потенциала от расстояния, полученную ранее:

( ) kQ 3 1 kQ 2 + 𝜀 4φ0 = ---- -+ 1 − -- = --------- R 𝜀 𝜀 R 𝜀

( ) 3φ = kQ-- -3-+ 1 − 1- = kQ--1 +-2-𝜀 0 R 2 𝜀 𝜀 R 2 𝜀

Поделим одно уравнение на другое и выразим $𝜀$ :

4 2 + 𝜀 2𝜀 --= ----- ⋅-------⇒ 𝜀 = 4 3 𝜀 1 + 2𝜀

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#92165

Два одинаковых плоских конденсатора подключены к источнику постоянного напряжения $U$ (см. рис.). Пространство между обкладками конденсаторов заполнено одинаковыми слоями диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями $𝜀 1$ и $𝜀 2$ . В одном конденсаторе слои расположены параллельно обкладкам, во втором перпендикулярно. Во сколько раз отличаются ёмкости этих конденсаторов и напряжённости полей в однородных диэлектриках?

(Олимпиада КФУ, 2019, 11)

Источники: Олимпиада КФУ, 2019, 11

Показать ответ и решение

Если слои диэлектрика расположены параллельно обкладкам, то такую систему можно считать двумя последовательно соединенными конденсаторами, емкость которой можно найти по формуле

C1C2 2𝜀0𝜀1S 2𝜀0𝜀2S C пс = --------, где C1 = -------и C2 = ------- C1 + C2 d d

( $d$ - расстояние межу обкладками). Таким образом, емкость системы

Cпс = -2𝜀0𝜀1𝜀2S- (𝜀1 + 𝜀2)d

Аналогично, если слои диэлектрика расположены перпендикулярно обкладкам, то такую систему можно считать двумя параллельно соединенными конденсаторами, емкость которых можно найти по формуле

𝜀v𝜀1S 𝜀0𝜀2S C пр = C1′+ C ′2, где C ′1 =------и C ′2 = ------ d d

Таким образом, емкость системы

𝜀 (𝜀 + 𝜀 )S C пр = -0--1----2--- 2d

Чтобы установить, во сколько раз отличаются напряженности полей в слоях диэлектриков, нужно сначала найти значения $′ ′ E1,E2, E 1,E2$ в каждом слое для одного и другого случая.

При последовательном соединении конденсаторов емкостями $C1$ и $C2$ подаваемое на них напряжение $U$ равно сумме напряжений на первом и втором слоях диэлектриков: $U = U1 + U2$ . Поскольку поля в диэлектриках однородные, то $U1 = E1 d;U2 = E2d 2 2$ , и, следовательно,

d- U = (E1 + E2 )2 (1)

При наложении на диэлектрики внешнего поля напряжённостью $E0$ напряженность в каждой среде уменьшится соответственно в $𝜀1$ и $𝜀2$ раз, т. е. $E1 = E0 𝜀1$ и $E2 = E0 𝜀2$ , откуда $𝜀1E1 = 𝜀2E2 (2)$ . Из уравнений $(1)$ и $(2)$ находим

E1 = ---2𝜀2U--- и E2 = ---2𝜀1U--- (𝜀1 + 𝜀2)d (𝜀1 + 𝜀2)d

Если слои диэлектриков перпендикулярны пластинкам, то напряжение на каждом из образовавшихся конденсаторов емкостями $C′1$ и $C ′2$ одинаково и равно $U$ , поэтому $E ′1 = Ud-;E2′= Ud-$ .

Напряженности полей в первой и второй среде при указанном расположении слоев диэлектриков относятся друг к другу как

E 2𝜀 E 2 𝜀 -1′= ----2--и -2′-= ----1-- E1 𝜀1 + 𝜀2 E2 𝜀1 + 𝜀2

(Официальное решение КФУ)

Ответ:

03 Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Конденсатор с диэлектриками