Тема Электродинамика. Электричество и цепи

12 Правила Кирхгофа

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела электродинамика. электричество и цепи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31903

Найдите силы токов в ветвях цепей (см. рисунок):
1) используя правило Кирхгофа;
2) методом узловых потенциалов. $ξ = 2$ В, $r = 1$ Ом, $R = 2$ Ом. Сравните трудоёмкости методов. Сделайте вывод о том, в каких случаях какой метод предпочтительнее. Указанные на рисунке величины считайте известными.

Показать ответ и решение

A) По Правилу Кирхгофа (рис. 1)

( ||| I I1R = 3ξ { II − I2R = − ξ |||( I0 = I1 + I2

Откуда

I1 = 3-ξI2 = ξ-I0 = 4ξ- R R R

По методу потенциалов (рис. 2)

I1 = 3ξ −-0-= 3ξ- R R

ξ-−-0- ξ- I2 = R = R

По первому закону Кирхгофа

4ξ I0 = I1 + I2 = --- R

Б) По Правилу Кирхгофа (рис. 1)

( || I I1(r + R ) = 3ξ |{ II − I2(R + r) = ξ − ξ ||| ( I0 = I1 + I2

Откуда

I = --3ξ-- I = − I = --3ξ-- 1 R + r 2 0 R + r

По методу потенциалов (рис. 2)

(| ||| φ1 = I1R ||{ φ2 = I2 ⋅ 2R || ξ + 2ξ − I r = φ ||| 1 1 |( ξ − ξ + I2r = φ1

Из первого и третьего

3ξ 3ξ = I1(R + r) ⇒ I1 = ------ R + r

Из второго и четвертого

I r = I ⋅ 2R ⇒ I = 0 2 2 2

Из первого закона Кирхгофа

I0 = I1 + I2 = --3ξ--. R + r

В) По Правилу Кирхгофа (рис. 1)

( ||| I I1R + I0R = 3ξ { | II − I2 ⋅ 3R − I0R = − ξ ||( I0 = I1 + I2

Подставим третье уравнение в первое и второе

( { I I1R + I1R + I2R = 3ξ ⇔ 2I1R + I2R = 3 ξ ( II I2 ⋅ 3R + I1R + I2R = ξ ⇔ 4I2R + I1R = ξ

Домножив второе на 2 и вычтем

ξ I2R − 8I2R = ξ ⇒ I2 = − --- 7R

Тогда

I1 = -ξ − 4I2 = ξ + 4ξ- = 11-ξ R 7R 7R

Откуда

I = I + I = 10ξ- 0 1 2 R

По методу потенциалов (рис. 2)

( | |||| I0R = 0 − φ2 ||| ||{ φ2 + ξ = 3I2R || φ1 = I1R ||| φ = 3ξ + φ |||| 1 2 |( I0 = I1 + I2

Если подставить первое и третье уравнение по все остальные, то получится

( | ||{ I I1R + I0R = 3ξ II − I ⋅ 3R − I R = − ξ || 2 0 |( I0 = I1 + I2

Та же система, что и при использовании правила Кирхгофа

Г) По Правилу Кирхгофа (рис. 1)

( || I I (R + r) + I R = 3ξ |{ 1 0 II − I2(3R + r) − I0R = ξ − ξ ||| ( I0 = I1 + I2

Подставим третье уравнение в первое и второе

( { 2I1R + I1R + I2R = 3ξ ( 4I2R + I2r + I1R = 0

Из второго

R I2 = − I1------- 4R + r

Подставляя в первое

R2 3ξ (4R + r) 3ξ(4R + r) 2I1R + I1r − I1------- = 3ξ ⇒ I1 = ----------------------------= ---------------- 4R + r 8R2 + 2Rr + 4Rr + r2 − R2 7R2 + 6Rr + r2

-----3ξR-------- --3ξ(3R--+-r)--- I2 = − 7R2 + 6Rr + r2 I0 = I1 + I2 = 7R2 + 6Rr + r2

По методу потенциалов (рис. 2)

( | |||| I0R = 0 − φ0 ||| ||{ I1(R + r) = 3ξ + φ0 || φ2 = I2 ⋅ 3R ||| ξ + φ − ξ − I r = φ |||| 0 2 2 |( I0 = I1 + I2

Если подставить первое и третье уравнение по все остальные, то получится

( | ||{ I I1(R + r) + I0R = 3ξ II − I (3R + r) − I R = ξ − ξ || 2 0 |( I0 = I1 + I2

Та же система, что и при использовании правила Кирхгофа

Д) По Правилу Кирхгофа (рис. 1)

( || I I ⋅ 2R + I (R + r) = 3ξ |{ 1 0 II − I2(3R + r) − I0(R + r) = ξ − ξ ||| ( I0 = I1 + I2

Подставим третье уравнение в первое и второе

( { 3I1R + I1r + I2(R + r ) = 3 ξ ( I2(4R + 2r ) + I2(R + r) = 0

Из второго

R + r I2 = − I1------- 4R + 2r

Подставляя в первое

(R + r)2 3I1R + I1 − I1---------= 3ξ ⇒ I1(12R2 + 6Rr + 4Rr + 2r2 − R2 − 2Rr − r2) = 3ξ(4R + 2r ) 4R + 2r

Отсюда

3ξ(4R + 2r) I1 = ----2-----------2 11R + 8Rr + r

I = − ----3ξ(R-+-r)---- 2 11R2 + 8Rr + r2

3ξ(3R + r) I0 = I1 + I2 = ----2----------2- 11R + 8Rr + r

По методу потенциалов (рис. 2)

( | |||| I0R = 0 − φ0 ||| ||| φ3 = φ0 + ξ − I0r |||| φ = 2 ξ + φ |{ 1 3 φ1 = 2I1R ||| ||| φ3 − ξ − I2r = φ2 ||| |||| φ2 = 2I2R ||| ( I0 = I1 + I2

Если подставить первое четвертое и последнее уравнения по все остальные, то получится

( ||| ||| |||| φ3 = − I0R + ξ − I0r { 2I1R = 2ξ + φ3 |||| ||| φ3 − ξ − I2r = 2I2R ||| ( I0 = I1 + I2

Если вычесть первое и третье

ξ + I2r = − I0(R + r) + ξ − 2I2R

А второе с первым

ξ = I (R + r ) − 2I R − 2ξ 0 1

Или

(| ||{ I1 ⋅ 2R + I0(R + r) = 3ξ || − I2(3R + r) − I0(R + r) = ξ − ξ |( I = I + I 0 1 2

Та же система, что и при использовании правила Кирхгофа

Е) По Правилу Кирхгофа (рис. 1)

( || I I1 ⋅ 2R + I0(R + r) = 3ξ |{ II − I2 ⋅ 2R − I0(R + r) = 2ξ − ξ ||| ( I0 = I1 + I2

Подставим третье уравнение в первое и второе

( { 2I1R + I1(R + r) + I2(R + r) = 3 ξ ( − I2R − I1(R + r) − I2(R + r) = ξ

Домножив второе на 3 и приравняв, получим

2I1R + I1(R + r) + I2(R + r) = − 3I2R − 3I1(R + r) − 3I2(R + r)

2I1R + 4I1(R + r) + 4I2(R + r) + 3I2R = 0

Откуда можно выразить

6R + 4r I2 = − I1--------. 7R + 4r

Поставляем в первое

I (14R2 + 8Rr + 7R2 + 4Rr + 7Rr + 4r2 − 6R4 − 4Rr − 6Rr − 4r2) = 3ξ(7R + 4r) 1

I1(15R2 + 9Rr ) = 3ξ(7R + 4r) ⇒ I1 = 3ξ-(7R--+-4r) 15R2 + 9Rr

3-ξ(6R-+-4r) I2 = − 15R2 + 9Rr

3 ξR I0 = ----2------- 15R + 9Rr

Из второго

R + r I2 = − I1------- 4R + 2r

Подставляя в первое

2 (R-+-r)-- 2 2 2 2 3I1R + I1 − I14R + 2r = 3ξ ⇒ I1(12R + 6Rr + 4Rr + 2r − R − 2Rr − r ) = 3ξ(4R + 2r )

Отсюда

I = ---3ξ(4R-+-2r)--- 1 11R2 + 8Rr + r2

3ξ(R + r) I2 = − ----2-----------2 11R + 8Rr + r

I = I + I = ---3ξ(3R-+--r)--- 0 1 2 11R2 + 8Rr + r2

По методу потенциалов (рис. 2)

( | |||| I0R = 0 − φ0 ||| ||| φ3 = φ0 + ξ − I0r |||| φ = 2 ξ + φ |{ 1 3 φ1 = 2I1R ||| ||| φ3 + 2ξ = φ2 ||| |||| φ2 = 3I2R ||| ( I0 = I1 + I2

Если подставить первое четвертое и последнее уравнения по все остальные, то получится

( || φ3 = − I0R + ξ − I0r |||| { 2I1R = 2ξ + φ3 |||| φ3 + 2ξ = 3I2R ||( I0 = I1 + I2

Аналогично предыдущему пункту можем привести к виду

( ||| I1 ⋅ 2R + I0(R + r) = 3ξ { − I2 ⋅ 2R − I0(R + r) = 2ξ − ξ |||( I0 = I1 + I2

Та же система, что и при использовании правила Кирхгофа

Ж) По правилу Кирхгофа (рис. 1)

Из контура $ABCDF A$ :

ξ − ξ = IF AR ⇒ IFA = 0.

Из контура $CEKBC$ :

7ξ − ξ = 2IKBR ⇒ IKB = 3ξ- R

Из контура $CEM DC$ :

10-ξ 7 ξ + 2 ξ + ξ = IMDR ⇒ IMD = R .

Из первого закону Кирхгофа:

13ξ ICE = IMD + IKB = ---- R

По методу потенциалов (рис. 2)

IKB = 6-ξ = 3-ξ 2R R

9-ξ −-(−-ξ) 10-ξ IMD = R = R

13ξ ICE = IMD + IKB = ----. R

− ξ − (− ξ) IFA = -----------= 0. R

З) По правилу Кирхгофа (рис. 1)

(| ||| I1R = ξ − ξ ⇒ I1 = 0 ||| 2-ξ { 2I2R = 6 ξ − 2 ξ ⇒ I2 = R | 7ξ ||| I3R = 6ξ + ξ ⇒ I3 = R-- |||( 8ξ I4R − I3R = ξ ⇒ I4 = --- R

Из первого закону Кирхгофа:

15ξ- I5 = I3 + I4 = R

17ξ I6 = I2 + I5 = ---- R

I = I − I = I = 15ξ- 7 6 2 5 R

По методу потенциалов (рис. 2). Основные токи обозначены на рисунке, остальные можно найти из первого закона Кирхгофа.

15ξ I5 = I3 + I4 = ---- R

17ξ I6 = I2 + I5 = ---- R

I = I − I = I = 15ξ- 7 6 2 5 R

И)

Для правой половины два уравнения

10 ξ − 6R (I1 + I2) = 4I2R 4I2R = 3ξ + 2I1R.

Или

ξ 3ξ 5 --− 3I1 − 3I2 = 2I2 2I2 = ---+ I1 R 2R

Из правого уравнения

I = 2I − 3ξ- 1 2 2R

Подставляя в левое уравнение

ξ 9ξ 19ξ 5-- − 6I2 + ---− 3I2 = 2I2 ⇒ I2 = ---- . R 2R 22R

I = -5ξ- 1 22R

Для левой половины два уравнения

10 ξ − 5(I3 + I4)R = ξ + 3I4R ξ + 3I4R = 4ξ + I3R

Или

10-ξ − 5I − 5I = -ξ + 3I -ξ + 3I = 4-ξ + I R 3 4 R 4 R 4 R 3

Из правого уравнения

ξ- I3 = 3I4 − 3R

Подставляем в левое

ξ ξ ξ 24ξ 10-- − 15I4 + 15-- − 5I4 = -- + 3I4 ⇒ I4 = ---- R R R 23R

I = -3ξ- 3 23R

Другие токи определяются из первого закона Кирхгофа:

181ξ I1 + I3 = ------ 506R

I + I = -365ξ- 2 4 506R

12ξ- I1 + I2 = 11R

27ξ I3 + I4 = ---- 23R

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31904

Электрическая цепь состоит из трёх идеальных батареек с известными ЭДС и шести резисторов с известными сопротивлениями (см. рисунок). Определите силу тока через резистор сопротивлением $6R$ .

Показать ответ и решение

По правилам Кирхгофа

( | |||| I 4I6R + 2I1R + 12I2R = 14ξ ||| ||| II 2I1R + I5R + 3I3R = 14ξ ||{ III I5R − 6I4R − 4I6R = 0 || I = I + I |||| 1 2 3 ||| I1 = I5 + I6 ||| |( I4 = I3 − I5

Решая эту систему, выразив из последних трех уравнений $I2, I3, I5$ и подставив их в уравнение I, II, III, получаем

-7ξ- 28ξ- 28ξ- I2 = 13R , I3 = 13R , I5 = 13

Тогда

35 ξ 7ξ I1 = ----, I6 = ----, I4 = 0 13R 13R

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано первое прафило Кирхгофа	2

Записано второе правило Кирхгофа	2

Записан закон Ома	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31905

Электрическая цепь (см. рисунок) состоит из идеального источника и четырех резисторов. Если к клеммам $A$ и $B$ подключить идеальный вольтметр, то он покажется напряжение $U = 4$ В. Если вместо вольтметра подключить идеальный амперметр, он покажет силу тока $I = 30$ мА. Определите напряжение $U0$ источника и сопротивление резистора $R$ . Найдите силу точка через резистор с сопротивлением $17R$ , если его подключить к клеммам $A$ и $B$ .

Показать ответ и решение

1) Так как вольтметр обладает бесконечно большим сопротивлением, то цепь будет представлять собой 2 параллельных блока $2R − R$ , при этом сила тока через каждый из резисторов будет одинакова и равна

U0 --- = I 3R

Для вольтметра выполнено равенство

U U = IR = --0 ⇒ U0 = 3U = 12 В 3

2) Идеальный амперметр имеет сопротивление равное нулю.

4JR = U ⇒ J = U0-= I ⇒ R = U0- = 100 О м 0 4R 4I

3) Для резистора $17R$

I2 ⋅ R = I ⋅ 2R + I1 ⋅ 17R ⇒ I2 = 2I + 17I1

По законам Кирхгофа:

( { I IR + (I + I )2R = U 2 1 2 0 ⇒ I2 + 2(I1 + I2) = 2I + I − I1 ⇒ I1 + I2 = I ( II I ⋅ 2R + (I − I1)R = U0

Тогда

I + 18I1 = 0 ⇒ I = − 18I1 ⇒ I2 = 2I + 17I1 = − 19I1

Тогда

U0 = I2R + (I1 + I2)2R = R(2I1 + 3(− 19I1)) = − 55I1R

Или

U0 I1 = − ---- ≈ 2, 2 м А 55R

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31906

Определите разность потенциалов между точками $a$ и $b$ в цепи, схема которой изображена на рисунке. Указанные величины ЭДС источников и их внутренних сопротивлений считайте известными.

Показать ответ и решение

По первому правилу Кирхгофа

I1 + I2 + I3 = 0

По второму правилу Кирхгофа

( { 3ξ − ξ = I ⋅ 3r − I r 3 1 ( 3ξ − 2ξ = I3 ⋅ 3r − I2 ⋅ 2r

Или

( |{ 2ξ-= 3I1 − I1 r |( ξ-= 3I3 − 2I1 r

Откуда

( ) 3I1 − 2ξ-+ 1- 3I1 − ξ- + I3 = 0 ⇒ I3 = 5-ξ- r 2 r 11r

Тогда

2ξ- 15ξ- 2ξ- -7ξ- I1 = 3I3 − r = 11r − r = − 11r .

Разность потенциалов между точками $a$ и $b$

7ξ 18 φab = ξ − I1r = ξ + ----r = --ξ. 11r 11

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано первое правило Кирхгофа	2

Записано второе правило Кирхгофа	2

Расписана разность потенциалов	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел