Расчет электрических цепей —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#24823

Артём Витальевич собирал цепь с реостатом и источником тока. В первый раз от выставил сопротивление реостата 4 Ом, во второй раз 9 Ом. И получилось так, что мощности выделяемые на реостате в первом и во втором случае равны. Также Артём Витальевич выяснил, что при выделяемой мощности на реостате 24 Вт, сила тока в цепи составляет 2 А. Найдите ЭДС источника тока.

Показать ответ и решение

1 случай (4 Ом):

2 ---E2----- P2 = I1R2 = (r + R )2R1 1

2 случай (9 Ом):

2 E2 P2 = I2R2 = --------2R2 (r + R2 )

Следовательно ( $P1 = P2$ ):

R R -----2--2-= -----1--2- (r + R2) (r + R1 )

Отсюда $r = 6$ Ом.

3 случай (2 A):

P3 = I23R3

Следовательно: $R3 = 6$ Ом.
Тогда $E = I3(R3 + r) = 2(6 + 6) = 24$ В.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38545

Найти показания амперметров в цепи, изображённой на рисунке. Сопротивления амперметров считать гораздо меньшими, чем сопротивления резисторов.
(МОШ, 2017, 9 )

Показать ответ и решение

Вначале найдём токи через резисторы. При расчёте этих токов амперметры можно заменить проводами с нулевым сопротивлением. Значит, потенциалы точек А, В и Б, Г попарно равны. Построим эквивалентную схему:

Тогда общее сопротивление цепи:

-1- = 1-+ 1-+ 1 R0 2 2

R0 = 0,5 О м

Тогда суммарный ток в цепи:

12-- I0 = 0,5 = 24 А

Расставим токи в схеме с учётом закона Ома и закона сохранения заряда (см. рис.). Амперметры $A1$ и $A2$ будут показывать токи 18 А, 12 А соответственно.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38546

Идеальный вольтметр включён в цепь, схема которой изображена на рисунке. Цепь состоит из четырёх одинаковых резисторов сопротивлением R и батареи с напряжением $ℰ = 9$ В и нулевым внутренним сопротивлением. Найдите показания вольтметра.
(Всеросс., 2019, ШЭ, 10 )

Показать ответ и решение

Так как вольтметр идеальный, то ток через него не идёт, тогда общее сопротивление параллельного соединения:

-1- = -1- + -1 R1 2R R

2- R1 = 3 R

Общее сопротивление цепи:

2 5 R0 = -R + R = -R 3 3

Тогда ток в цепи:

3ℰ I0 = --- 5R

Ток через резистор, к которому подключён вольтметр найдём используя закон сохранения заряда в цепи:

I0 3ℰ I = -- = --- 3 5R

Uv = ℰ--⋅ R = ℰ- = 1, 8 В 5R 5

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38547

Найдите показания идеальных амперметра и вольтметра в схеме, изображённой на рисунке. Напряжение идеальной батарейки $U$ , сопротивление каждого резистора $R$ .
(МОШ, 2019, 11 )

Показать ответ и решение

Так как вольтметр идеальный, то он имеет бесконечно большое сопротивление и ток через учаток цепи, куда он включён идти не будет. Тогда общее сопротивление цепи равно $R0 = 2R + 2R = 4R$ . Значит ток через амперметр равен общему току в цепи:

U IA = --- 4R

А вольтметр будет показывать напряжение на двух последовательно соединённых резисторах:

U UV = IA ⋅ 2R = -- 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38548

Четыре резистора соединены как показано на рисунке. Сопротивления резисторов $R1 = 3r$ , $R2 = R3 = 2r$ , $R4 = 4r$ . На вход $AB$ схемы подают напряжение $U = 38$ В, $r = 10$ Ом.
1. Найдите эквивалентное сопротивление $R AB$ цепи.
2. Какой силы $I$ ток будет течь через резистор $R4$ ?

Источники: Физтех, 2020, 9

Показать ответ и решение

Перерисуем цепь в удобном для нас виде:

Тогда общее сопротивление параллельного соединения:

-1-= -1-+ -1-+ 1--= 5-- R1 R2 R3 R4 4r

4- R1 = 5r

Общее сопротивление цепи:

4 19 R0 = --r + 3r = --r = 38 О м 5 5

Тогда ток в цепи:

ℰ I0 = ---= 1 А R0

I0 = 2I1 + I2

где $I1$ - ток через резисторы $R2$ и $R3$ ; $I2$ - ток через резистор $R4$ .
Так как соединение параллельное:

4r ⋅ I2 = 2r ⋅ I1

Откуда:

I = I0 = 0,2 А 2 5

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Рассчитано сопротивление параллельно соединенных резисторов	2

Рассчитано общее сопротивление электрической цепи	2

Записан закон Ома для нахождения тока в цепи	2

Использованы законы параллельного и последовательного соединения для нахождения требуемого тока	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38549

Из серебряной проволоки массой $m = 3,91 г$ изготовили кольца разного диаметра, которые соединили в цепочку (см. рисунок). Электрическое сопротивление между концами такой цепочки $R = 1,00 ⋅ 10−2 О м$ . Вычислите длину цепочки, если известно, что плотность серебра $d = 10,5 г/см3$ , а удельное сопротивление $ρ = 1,49 ⋅ 10−6 О м ⋅ см$ . Диаметр поперечного сечения проволоки много меньше диаметра самого маленького колечка. Цепочка натянута. Электрическим сопротивлением колец в месте контакта можно пренебречь.
(Всеросс., 2012, РЭ, 9)

Источники: Всеросс., 2012, РЭ, 9

Показать ответ и решение

При данных условиях место контакта можно считать точечным. Цепочку можно заменить эквивалентной схемой, где $Ri$ - сопротивление половины $i$ -ого конца.

Обозначим половину длины $i$ -го кольца $li$ , а полную длину пошедшей на цепочку проволоки $l$ . Полная длина проволоки - это сумма длин всех колец:

l = 2 (l1 + l2 + ...+ lN )

Сопротивление $i$ -го кольца можно найти по формуле

Ri- ρli ri = 2 = 2S,

где $S$ - площадь поперечного сечения проволоки. Масса цепочки $m = dSl$ . Сопротивление всей цепочки:

-ρ- -ρl R = (r1 + r2 + ...+ rN ) = 2S (l1 + l2 + ...+ lN) = 4S

Выражая $S$ из фор мулы для массы цепочки, получаем:

4mR l2 = ----- ρd

Длина цепочки $L$ складывается из диаметров колец:

∘ ----- 2l1 2l2 2lN l 2 mR L = ---+ ---+ ...+ ----= --= -- ----= 31, 8 см π π π π π ρd

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Использована замена	2

Найдена полная длина проволоки	2

Найдено сопротивление $i$ -ого участка	2

Найдена длина цепочки	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#38550

Найдите сопротивление участка цепи, схема которого показана на рисунке, если $R = 7$ Ом.

(«Курчатов», 2015, 8 )

Показать ответ и решение

Проверим сбалансированность моста:

6R ⋅ 12R = 8R ⋅ 9R

Равенство верное, следовательно ток через сопротивление в $23R$ не идёт, тогда:

-1- = --1- + -1--= ---7--- R0 15R 20R 20 ⋅ 3R

60 R0 = -7-R = 60 О м

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#39247

В цепи, представленной на рисунке, сопротивления резисторов одинаковы и равны 1 кОм, сопротивления амперметров пренебрежимо малы. Напряжение идеального источника 70 В. Найдите показания амперметров. Чему равно общее сопротивление цепи?

(МОШ, 2017, 10)

Источники: МОШ, 2017, 10

Показать ответ и решение

Так как сопротивление амперметров пренебрежимо мало, расставим в цепи потенциалы:

Тогда эквивалентная схема будет выглядеть следующим образом:

1--= 1-+ (----1---)--= 13- R0 R R- 2- 7R 2 + 3 R

R0 = 13R 7

Запишем напряжение на резисторах:

φ = I2 ⋅ 2R

φ = I1 ⋅ R

ℰ − φ = I3 ⋅ R

Закон сохранения заряда:

I1 + I2 = I3

Откуда:

-φ- + φ- = 2(ℰ-−--φ) 2R R R

3- 2φ = 2ℰ − 2φ

4ℰ φ = --- = 40 В 7

Тогда токи:

I = I = φ--= 20 мА 2 A2 2R

ℰ − φ I3 = IA3 = ------ = 30 м А R

I = I = I − I = 10 м А 0 A1 3 2

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Использованы законы последовательного и параллельного соединения резисторов в цепи	2

Закон Ома	2

Расписаны падения напряжения на элементах	2

Найдены показания амперметров	2

Найдено общее сопротивление в цепи	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#39248

Сопротивление каждого из резисторов в цепи, схема которой изображена на рисунке, одинаково и равно 3 Ом. Напряжение между полюсами идеального источника равно 6 В. Все амперметры идеальные, в центре шестиугольника контакта между проводами нет. Найдите показания всех амперметров.

(МОШ, 2018, 9)

Источники: МОШ, 2018, 9

Показать ответ и решение

Так как амперметры идеальные, то напряжение на них равно нулю. С учётом этого расставим потенциалы в цепи:

Тогда эквивалентная схема будет выглядеть следующим образом:

Запишем напряжение на резисторах:

φ = I1 ⋅ R

ℰ − φ = I2 ⋅ R

Закон сохранения заряда:

2I = 2I ⇒ I = I 1 2 1 2

Тогда:

ℰ − φ ℰ ------= 1 ⇒ φ = -- = 3 В φ 2

φ- I1 = I2 = R = 1 А

ℰ I4 = -- = 2 А R

Токи через амперметры, используя закон сохранения заряда:

I = I + I = 3 А A4 2 4

IA + I1 = I2 ⇒ IA = 0 3 3

IA2 = I1 + I4 = 3 А

IA1 = 2I2 + 2I4 = 6 А

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#39249

Четыре резистора сопротивлениями $R1 = 3$ Ом, $R2 = 4$ Ом, $R3 = 7$ Ом и $R4 = 6$ Ом соединены с батареей (рисунок слева), напряжение на которой $U01 = 9,1$ В, а её внутренним сопротивлением можно пренебречь.

1) Между резисторами подключён идеальный вольтметр. Найдите его показания. В какую сторону отклонится стрелка вольтметра (рисунок в центре)? Известно, что при подключении клеммы вольтметра, помеченной символом $(+ )$ , к положительному выводу батареи, а клеммы вольтметра, помеченной символом $(− )$ , – к отрицательному выводу батареи стрелка отклоняется вправо.
2) Через какое-то время батарея частично разрядилась, и напряжение на её выводах уменьшилось до $U02 = 9, 0$ В. Вместо вольтметра в цепь включили амперметр (рисунок справа), сопротивление которого пренебрежимо мало. Найдите показания амперметра. В какую сторону отклонится стрелка амперметра, если при протекании через него тока от клеммы, помеченной символом $(+)$ к клемме, помеченной символом $(− )$ , стрелка отклоняется вправо?

(Всеросс., 2011, РЭ, 10)

Показать ответ и решение

1. Введём обозначения: $Ui−$ падение напряжения, а $Ii−$ сила тока, проходящего через соответствующий резистор. Поскольку вольтметр идеальный, то:

I1 = I2, (1 ) U1 + U2 = U3 + U4 = U01 (2)

Отсюда следует:

U1 U2 I1 = R-- = I2 = R--, 1 2

или

U1 = R1U2 (3) R2

Подставляя (3) в (2), получим:

R R U2 = -----2----U01, U1 = -----2-- U01 = 3,9 B (4 ) (R1 + R2 ) R1 + R2

Аналогичным образом:

---R3--- ---R4--- U3 = R3 + R4 U01 = 4,9 B, U4 = R3 + R4U01 = 4,2 B

Отсюда найдём показания вольтметра:

UV = U1 − U3 = 3,9 B − 4,9 B = − 1 B

Знак минус означает, что стрелка отклонится влево. 2. Пусть $I$ - сила тока, идущего через батарею. Заметим, что:

I = I + I = I + I 1 3 2 4

Поскольку сопротивление амперметра пренебрежимо мало, падение напряжения на резисторах $R1$ и $R3$ одинаково. Обозначим его $U1$ . Аналогично, падение напряжения на резисторах $R2$ и $R4$ обозначим $U2$ . Тогда:

( ) ( ) I = U1 -1-+ -1- = U2 -1-+ -1- , (5) R1 R3 R2 R4 U1 + U2 = U02 (6)

Решая систему уравнений (5) и (6), получим:

U1 = 4,2 B, U2 = 4,8 B

Предположим, что ток идёт через амперметр от $(+ )$ к $(− )$ . Тогда:

I − I = I и I + I = I 1 2 A 3 A 4

Решая любое из этих двух уравнений, например, первое, получим:

IA = I1 − I2 = U1-− U2-= 0,2 A R1 R2

Получившаяся сила тока положительна, следовательно, стрелка отклонится вправо.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#40961

Электрическая цепь состоит из резистора с сопротивлением $R$ и четырёх одинаковых амперметров с внутренними сопротивлениями $r$ . Показания амперметров $A1$ и $A2$ равны $I1 = 3$ А и $I2 = 5$ А. Найдите отношение сопротивлений $R ∕r$ .
(Всеросс., 2020, МЭ-Чукотка, 11)

Показать ответ и решение

На рисунке стрелками указаны выбранные нами положительные направления токов в ветвях цепи.

Поскольку в контуре $ACB$ отсутствуют источники ЭДС, то

I2r = I3r + I1r ⇒ I3 = I2 − I1 = 2 А

Запишем закон сохранения электрического заряда для узла $B$ :

I1 = I3 + IR ⇒ IR = I1 − I3 = 1 А

Аналогично находим ток $I = I + I = 7 А 4 2 3$ Для контура $CDB$ , в котором также отсутствуют источники ЭДС:

I r + I r = I R ⇒ R-= I3 +-I4= 9 3 4 R r IR

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#40962

На рисунке представлена схема электрической цепи, состоящей из двух идеальных батарей с ЭДС $E1 = ℰ$ , $E2 = 2ℰ$ , батареи с ЭДС равной $E3 = 3 ℰ$ внутренним сопротивлением $r = R∕3$ , идеального диода $D$ , а также двух одинаковых резисторов $R = R = R 1 2$ и одного реостата. Максимальное сопротивление реостата также равно $R$ . Вольт - амперная характеристика диода представлена на рисунке. Диод пропускает ток только в направлении, указанном его стрелкой.
1) Ползунок реостата делит его обмотку (полное сопротивление) на части. Пусть сопротивление левой от ползунка части реостата $Rx$ . Получите уравнение, выражающее зависимость эквивалентного сопротивления ( $R э$ ) части цепи между точками $m$ и $n$ от $Rx$ .
2) Может ли напряжение на диоде быть равным нулю в данной цепи?
3) Определите во сколько раз максимальная сила тока, текущего через резистор $R1$ , больше чем минимальная (при всевозможных положениях ползунка реостата).
4) Определите напряжение на диоде $D$ , при двух крайних положениях ползунка реостата.
(Всеросс., 2021, МЭ-Челябинск, 11)

Показать ответ и решение

1) Заметим, что ползунок реостата делит его обмотку на две части. $Rx$ . соединено последовательно с $R2 (R2 = R)$ , а затем параллельно с оставшейся частью реостата. В итоге получим:

-1- = ----1----+ ---1----= ---1----+ ---1---- R3 R2 + Rx R − Rx R + Rx R − Rx

Отсюда:

R2-−-Rx2-- R э = 2R (1)

Очевидно, что $Rx$ может принимать все значения от минимального $(Rx = 0)$ до максимального $(Rx = R )$ . Заметим, что выражение (1) монотонно изменяется с изменением $Rx$ , поэтому можно найти пределы изменения $R3$ :

Rmэin = 0 и Rmaэx = R- (2) 2

2) Пусть $UD$ - напряжение на диоде, а $ID$ - ток, текущий через него. Направим токи, как показано на рисунке. Применим первое правило Кирхгофа для узла $K$ и второе правило Кирхгофа для контуров АВCK и KCFG:

I1 = ID + I2 (3)

− ℰ + 2ℰ = I1R + UD (4)

− 2ℰ + 3ℰ = I2(R э + r) − UD (5)

где $R ∋$ - сопротивление участка m-n. Предположим, что возможно равенство нулю напряжения на диоде. Тогда диод «открыт» и через него течет положительный ток $ID$ . После решения системы (3) - (5) при $UD = 0$ найдем:

ℰ ℰ ID = -- − ------- R R э + r

Заметим, что зависимость $ID (R э)$ - монотонная, поэтому ток изменяется в пределах

I (Rmin ) = ℰ-− -ℰ--- = − 2ℰ- < 0 D э R 0 + r R max ℰ ℰ ℰ ID (R э ) = --− R-----= − ---< 0 R 2 + r 5R

Получили противоречие (ток через диод должен быть положительным), а это значит, что диод всегда «закрыт» и ток через него равен нулю. Следовательно, $UD = 0$ - невозможно.

3)Для закрытого диода $ID = 0$ , и решение системы (3) - (5) дает:

----2-ℰ---- I1 = r + R + R (6) 3

Заметим, что зависимость $I1 (R э)$ - монотонная, поэтому максимальный и минимальный ток будет при крайних положениях движка реостата:

12ℰ Imin(Rmaэx ) = ---- 11R I (Rmin) = 3-ℰ max э 2R Imax- Тогд а I = 1,375 ≈ 1,37 min

4) Для закрытого диода $ID = 0$ , и решение системы (3) - (5) дает:

UD = ℰ − I1R = ℰ-(r-−-R-+--Rэ) r + R + R э

При двух крайних положениях ползунка напряжения на диоде равны:

-ℰ- ℰ- UD1 = − 11 и UD2 = − 2

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#40963

Для того, чтобы измерить сопротивление резистора Дима собрал электрическую цепь (см. рис 1.). Показания вольтметра и амперметра были соответственно равны $U1$ и $I1$ . На следующий день он решил повторить эксперимент и собрал цепь (рис. 2.), используя то же оборудование. На этот раз показания приборов были $U2$ и $I2$ . Чему равно значение сопротивления $R$ ? Оба раза на выходе источника тока поддерживалось одно и то же постоянное напряжение.

(Всеросс., 2019, МЭ-Кемерово, 11)

Показать ответ и решение

Показания приборов в схемах 1 и 2 разные, потому что амперметр и вольтметр не идеальные. Пусть $RA$ – сопротивление амперметра, а $ℰ$ — напряжение источника, тогда закон Ома для первой и второй цепей соответственно имеет вид:

U1 + I1RA = ℰ

I2R + I2RA = U2 = ℰ

Из совместного решения этих уравнений получим, что

R = U2-− U2-−--U1 I2 I1

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#40964

В собранной схеме (см. рисунок) лампочка горит одинаково ярко как при замкнутом, так и при разомкнутом ключе $K$ . Найдите напряжение на лампочке.
(Всеросс., 2019, МЭ-Кострома, 11)

Показать ответ и решение

Обозначим сопротивление лампочки через $R$ , а искомое напряжение на ней — через $U$ . Исходную электрическую цепь с незамкнутым ключом можно изобразить в эквивалентном виде, показанном на рисунке (А).

Тогда напряжение на участке цепи, содержащем параллельное соединение, равно

U1 = U + 90U- R

сила текущего через этот участок тока составляет $U U --+ --1- R 180$ , и закон Ома для данной схемы дает:

( U ) U U U + 90-- U + 90 --+ 90|( -- + -------R- |) = 54 В R R 180

После замыкания ключа цепь можно перерисовать как показано на рисунке (Б). Из него видно, что напряжение на верхнем участке цепи, содержащем два резистора и лампочку, составляет 54 В. Закон Ома для этого участка цепи имеет вид:

( ) U + 180 U-+ U-- = 54 В R 90

Решая полученные уравнения, найдем, что сопротивление лампочки равно 30 Ом, а напряжение на ней 6 В.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#40965

Странное пятно появилось на схеме, показанной на рисунке. Известно, что амперметр $A1$ показывает силу тока $I1$ . Какую силу тока показывает амперметр $A2$ ?

(Всеросс., 2019, МЭ-Владивосток, 11)

Показать ответ и решение

Обозначим силу тока $I1$ , $I2$ – показания амперметров $A1$ и $A2$ , на других участках цепи $I3$ , $I4$ , $I5$ .

Напряжение на клеммах источника равно сумме напряжений на верхней цепочке резисторов:

U = I3R + I2R (1)

Или сумме напряжений на нижней цепочке резисторов:

U = I13R + I4R (2 )

Запишем равенство входящих и выходящих токов для узлов $b$ и $d$ :

I3 = I2 + I5 (3) I + I = I (4) 1 5 4

Заменим токи $I3,I4$ в (1) и (2):

I2R + I5R + I2R = I13R + I1R + I5R

Отсюда

2I2R = 4I1R ⇒ I2 = 2I1

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#69258

Определить эквивалентное сопротивление, если все сопротивления схемы равны $R = 20 О м$ .

Источники: МОШ, 2017, 10

Показать ответ и решение

Преобразуем нижние три резистора по правилу преобразования звезда-треугольник (см. рис.):

Следовательно получаем следующую схему:

Исходя из того что, левый резистор $3R$ имеет за счёт провода разность потенциалов равную нулю, то тогда резистор $3R$ можно исключить из схемы. Далее перерисуем её в более удобном виде, чтобы выделить параллельные соединения:

Рассчитаем данную цепь: соединения $R$ с $R$ и $3R$ с $3R$ соединены последовательно, в результате дадут $R ∕2$ и $3R ∕2$ соответственно. Далее $3R ∕2$ соединён с резистором $R$ последовательно, следовательно $R∗ = 3R ∕2 + R = 5R ∕2$ . Затем $R∗$ соединён с $R$ параллельно:

R = 5R-∕2-⋅ R-= 5R 1 5R ∕2 + R 7

В итоге:

5 1 17 R экв = --R + -R = --R 7 2 14

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#69259

Найти эквивалентное сопротивление $Rab$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем нижние три резистора по правилу преобразования звезда-треугольник (см. рис.):

Следовательно получаем следующую схему:

Перерисуем в привычном нам виде:

Верхний участок даст в сумме 9 Ом, нижний рассчитаем как параллельное соединение:

R1 = 18-⋅ 9-= 6 О м 18 + 9

В итоге:

-6 ⋅ 9 Rэкв = 6 + 9 = 3,6 О м

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#69267

В электрической цепи, представленной на рисунке, сопротивление резисторов $R1 = R2 = R3 = R4 = R$ , а $R5 = R6 = R7 = R8 = 2R$ . Определите сопротивление между клеммами A и B при замкнутом и разомкнутом ключе $K$ . Определите силу тока через замкнутый ключ при подключении к клеммам $A$ и $B$ идеального источника с напряжением $U$ .
(«Максвелл», 2021, ЗЭ, 8)

Источники: Максвелл, 2021, ЗЭ, 8

Показать ответ и решение

1. Пусть ключ $K$ замкнут, тогда эквивалентная схема будет иметь вид, изображённый на рис. 1. Её сопротивление между клеммами $A$ и $B$ равно

R1 = 3R-∕2-⋅ R-+ 3R--⋅ 2R-= 3R-+ 6R-= 9R- 3R ∕2 + R 3R + 2R 5 5 5

2. Сопротивление левой половины цепи ровно в 2 раза меньше сопротивления правой, поэтому, когда к клеммам $A$ и $B$ подключено напряжение $U$ , на левую половину придётся $U ∕3$ , а на правую $− 2U ∕3$ . Общая сила тока в цепи, при этом, равна

U 5U I = ---= --- R1 9R

Определим токи через резисторы:

I2 = U-∕3 = -U- , I7 = 2U-∕3 = -U-, R2 3R R7 3R 2U- I1 U-- I1 = I8 = I − I2 = 9R , I3 = I4 = I5 = I6 = 2 = 9R

Так как $I3 = I4 = I5 = I6$ , то ток через замкнутый ключ равен $IK = I2 = I7 = U∕(3R )$ .
3. Пусть теперь ключ $K$ разомкнут. Применим к тройкам резисторов $R1, R2$ , $R4$ и $R5, R7,R8$ преобразование «треугольник-звезда» (см. рис. 2). В первом случае $r = R$ , во втором $r = 2R$ .

Преобразованная схема примет вид, изображенный на рисунке:

Сопротивление цепи в этом случае равно

R2 = R- + -2R-⋅ 3R-+ 2R- = 11R- 3 2R + 3R 3 5

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#69272

В электрических цепях (рис.) сопротивление $RAB$ между зажимами $A$ и $B$ и сопротивление $RCD$ между зажимами $C$ и $D$ равны, а сопротивления резисторов $R1$ , $R2$ и $R3$ — заданы. Найдите все возможные значения сопротивления $R x$ . Докажите, что других решений нет.
(Всеросс., 2003, ОЭ, 9)

Показать ответ и решение

Наиболее просто сопротивления $RAB$ и $RCD$ можно вычислить, если соединение «треугольником» резисторов $R1, R2$ и $Rx$ (на рисунках 1 и 2 оно обведено пунктирным контуром) замени эквивалентным соединением «звездой» (рис. 3 и 4).

На данном этапе мы воздержимся от пересчета «треугольника в «звезду», а будем считать, что $r ,r A 1$ и $r 2$ нами уже найдены. Поскольку $R = R AB CD$ , то и $R = R MB ND$ , так как $r A$ соединено последовательно с каждым из них:

R = (r1 +-R3-)(r2-+-Rx)-= R = (r1-+-Rx-)(r2 +-R3) MB r1 + r2 + R8 + Rx ND r1 + r2 + R3 + Rx

Так как в последнем уравнении знаменатели равны, то должны быть равны и числители: $(r1 + R3 )(r2 + Rx) = (r1 + Rx) (r2 + R3 )$ . После раскрытия скобок и приведения подобных членов это уравнение примет вид:

r1 (Rx − R3 ) = r2(Rx − R3 )

Такое равенство возможно в двух случаях: 1. $R = R x 3$ - это один корень уравнения; 2. $r1 = r2$ . Данное равенство указывает на симметрию соединения «звездой», но симметрия «звезды» возможна только тогда, когда и исходная схема соединения «треугольником» обладает подобной симметрией, то есть когда $R1 = Rx$ - это второй корень уравнения. Других решений у составленного нами уравнения нет. Следовательно, возможны только два значения $Rx$ :

Rx = R1 и Rx = R3

Ответ:

13 Расчет электрических цепей