Индуктивность —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41911

Виток тонкого провода, имеющий форму квадрата, обладает индуктивностью $L1$ (рис. а). Виток из такого же провода, идущего по рёбрам куба, как это показано на рис. б, имеет индуктивность $L2$ . Найдите индуктивность показанного на рис. в витка из такого же провода. (Витки на рисунках выделены толстыми линиями.)
(Межреспубл., 1992, 11; «Росатом», 2011, 11; «Росатом», 2020, 11)

Показать ответ и решение

Пусть вдоль контура 1234561 течет ток $I$ . Такой контур можно заменить двумя контурами 12361 и 63456 с тем же током $I$ . Это понятно из рис. 1. Магнитный поток, пронизывающий контур 1234561 , состоит из двух одинаковых магнитных потоков, создаваемых контурами 12361 и 63456 . Рассмотрим один из этих контуров, например, 12361.

Поток, пронизывающий собственный контур (12361), очевидно равен $L1I$ и направлен на нас. Одновременно линии индукции магнитного поля этого тока пронизывают контур 63456. Этот магнитный поток будет равен $L21I$ и направлен от нас. Здесь $L21−$ коэффициент взаимной индукции. Поэтому полный магнитный поток, пронизывающий контур 1234561 двумя эквивалентными контурами, будет равен

Φ2 = 2 (L1 − L21)I

По определению коэффициент самоиндукции (индуктивности) контура 1234561

L = Φ ∕I = 2(L − L ) 2 2 1 21

Отсюда неизвестный коэффициент самоиндукции

L21 = L1 − L2- (1) 2

Рассмотрим теперь контур 1234561 , по которому течет ток $I$ (рис. 2). Заменим этот контур тремя эквивалентными контурами: 12761, 23472 и 67456.

Магнитный поток, пронизывающий каждый из этих трех контуров,

Φ = L1I − 2L21I

Суммарный магнитный поток через три контура

Φ3 = 3Φ = 3L1I − 6L21I

Поток $Φ 3$ входит через три грани нашего куба: 12761, 23472 и 67456. Этот же поток будет выходить через три другие грани, поскольку через любую замкнутую поверхность поток равен нулю. Этот закон является следствием отсутствия магнитных зарядов. Следовательно, магнитный поток $Φ3$ будет пересекать контур 1234561 По определению

L3 = Φ3∕I = 3L1 − 6L21 = 3 (L2 − L1)

При написании последнего равенства было использовано выражение (1).

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#41912

Индуктивность кольца известна и равна $L1$ . Индуктивность контура, представляющего собой сектор кольца того же радиуса, опирающийся на угол $π ∕2$ , также известна и равна $L2$ . Найти индуктивность контура, представляющего сектор кольца того же радиуса, опирающийся на угол $3π ∕2$ .
(«Росатом», 2011, 11)

Показать ответ и решение

Мысленно представим кольцо с током в виде четырех секторов так, как показано на рисунке, причем в проводах, расположенных вдоль диаметра токи текут навстречу друг другу. Тогда с точки зрения распределения магнитного поля в пространстве ничего не изменилось, так как новых токов не появилось.

Поэтому поток магнитного поля через кольцо $Φ1$ будет таким же, как поток магнитного поля через четыре сектора. С другой стороны этот поток будет складываться из четырех потоков магнитного поля каждого секториального тока через сам этот сектор $Φ2$ , четырех потоков магнитного поля каждого секториального тока через сектор, лежащий крест накрест $Φx$ , и восьми потоков магнитного поля каждого секториального тока через соседние секторы $Φ=$ . Поэтому

Φ1 = 4Φ2 + 4Φ × + 8Φ= (1)

Используя известные индуктивности кольца и сектора, получим из (1), если во всех цепях текут одинаковые токи $I$ :

4Φ × + 8Φ= = (L1 − 4L2 )I

Разобьем теперь сектор, опирающийся на угол $270 ∘$ на три сектора. Тогда поток магнитного поля через него $Φ3$ будет складываться из трех потоков $Φ2$ , двух потоков $Φ×$ и четырех потоков $Φ=$ :

Φ = 3Φ + 2 Φ + 4Φ 3 2 × =

или

L3I = 3L2I + (L1-−-4L2-)I 2

Отсюда находим

L1- L3 = L2 + 2

(Официальное решение Росатома)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41913

Индуктивность замкнутого квадратного витка, сделанного из тонкой проволоки, равна $L$ (левый рисунок). Если рядом с этим витком перпендикулярно его плоскости и без электрического контакта с ним расположить точно такой же по размеру, но сверхпроводящий виток (так, что они образуют соседние грани куба), то индуктивность первого витка станет равна $L1$ (средний рисунок). Какой будет индуктивность витка, если сверхпроводящий виток расположить параллельно его плоскости так, что они образуют с первым противоположные грани куба?
(«Росатом», 2018, 11)

Показать ответ и решение

Пропустим через первый виток ток $I$ . Тогда поток магнитного поля через него будет равен

Φ = LI (1)

где $I$ - индуктивность первого витка. Поскольку магнитных зарядов не существует, суммарный поток через любую замкнутую поверхность, в состав которой входит наш виток (и в частности, через куб, для которого рассматриваемый виток является одной гранью) будет равен нулю. Поэтому

Φ = 4 Φ12 + Φ16 (2)

где $Φ12$ - поток магнитного поля через соседнюю грань куба, $Φ16$ - поток магнитного поля через противоположную грань. Поскольку магнитный поток через сверхпроводящий виток должен быть равен нулю, то при поднесении его к рассматриваемому витку в нем индуцируется ток $I1$ , создающий точно такой же (но противоположный) поток через самого себя. Ток $I 1$ создает магнитный поток через основной виток, который во столько же раз меньше потока $Φ$ , во сколько раз ток $I1$ меньше тока $I$ . Поэтому поток магнитного поля через основной виток при поднесении к нему сверхпроводящего витка будет равен

2 ( 2 ) Φ − I1Φ = Φ − Φ-12 = Φ 1 − Φ12- (3 ) I 12 Φ Φ2

С другой стороны, этот поток по определению равен $L1I$ . Отсюда получаем

∘ ------- Φ12-= 1 − L1- (4) Φ L

В результате из формулы (2) находим

( ∘ -------) L1 Φ16 = Φ 1 − 4 1 − --- L

Если теперь мы уберем боковой виток и разместим сверхпроводящий виток на противоположной грани куба, то в нем возникнет такой ток $I2$ , который, с одной стороны, будет компенсировать магнитный поток $Φ 16$ основного тока через самого себя, а с другой создаст поток через основной виток, во столько же раз меньший потока $Φ16$ во сколько ток $I2$ меньше тока $I$ . Поэтому поток магнитного поля через основной виток в этом случае равен

2 ( 2 ) Φ = Φ − I2Φ = Φ − Φ16-= Φ 1 − Φ-16 2 I 16 Φ Φ2

Но этот поток по определению равен $L2I$ , где $L2$ - индуктивность основного витка в присутствии сверхпроводящего витка на противоположной грани. Поэтому из предыдущей формулы получаем

( ( ∘ -------)2 ) ( L1- ) L2 = L 1 − 1 − 4 1 − L = 0,96 мГ н

(Официальное решение Росатома)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#41914

У торца вертикально расположенного длинного соленоида на тонком немагнитном листе лежит соосно с соленоидом круглое тонкое кольцо из сверхпроводника (рис.). В начальном состоянии сила тока в витках соленоида и сила тока в кольце равны нулю. При протекании тока по виткам соленоида вблизи торца возникает неоднородное магнитное поле. Вертикальную $Bz$ и радиальную $Br$ составляющие вектора магнитной индукции $⃗ B$ можно в некоторой ближней области задать с помощью соотношений $Bz ≈ B0 (1 − αz )$ , $Br ≈ B0 βr$ , где $α$ и $β$ – некоторые константы, а $B0$ определяется силой тока в соленоиде. По виткам соленоида начинают пропускать ток силой $I$ , постепенно увеличивая его значение. Определите:
1) критическое значение силы тока $I0$ в соленоиде, при котором кольцо начинает подниматься над опорой;
2) высоту кольца над опорой при $I = 2I0$ ;
3) частоту малых колебаний сверхпроводящего кольца при $I = 2I0$ .
Числовые данные: $α = 36$ м $−1$ , $β = 18$ м $−1$ , масса кольца $m = 100$ мг, коэффициент самоиндукции кольца $−8 L = 1,8 ⋅ 10$ Гн, площадь кольца $S = 1$ см $2$ , магнитная постоянная $−6 μ0 = 1,257 ⋅ 10$ Гн/м, плотность намотки соленоида $n = 103$ м $−1$ .
(Всеросс., 2006, финал, 11)

Показать ответ и решение

Магнитное поле $B0$ (при $z = 0)$ у торца длинного соленоида равно половине значения поля магнитной индукции внутри соленоида вдали от торцов

B0 = 1μ0Icn 2

Пусть кольцо расположено на некотором расстоянии $z$ от торца. Результирующий магнитный поток $Φ = BzS + LI = B0 (1 − αz)S + LI$ , где $I−$ сила тока в кольце. Сверхпроводящее кольцо сохраняет магнитный поток. Из начальных условий $Φ = 0$ . Следовательно,

B0-(1 −-αz)S- I(z) = − L

Знак «–» указывает на то, что ток в кольце протекает в направлении, противоположном току в витках соленоида. Следовательно, кольцо будет отталкиваться от соленоида. Сила Ампера, действующая на кольцо, направлена вверх:

2 2 Fz = FA − mg = |I (z )|Br2 πr0 − mg = B-0(1 −-αz)S--2β − mg L

Условие равновесия кольца: $Fz = 0$ , то есть

( ) 2 mgL-- 1- 2 mgL-- B0(1 − αz ) = 2βS2 , или 2μ0Icn (1 − αz ) = 2βS2

1. При $z = 0$ критическое значение индукции магнитного поля равно $B0$ и, следовательно,

∘ ------ mgL----2--- Ic = I0 = 2β S μ n = 11, 1 A 0

При таком токе кольцо начинает подниматься над опорой.

2. При $Ic > I0$ кольцо висит н ад опорой (левитирует) на некотором расстоянии $z = z0$ (без нарушения осевой симметрии). В этом случае

( )2 (1 − αz ) = I0 0 Ic

откуда

( ( )2 ) z0 = -1 1 − I0 α Ic

При условии $Ic = 2I0$ расстояние

3 z0 = ---= 2,08 см 4α

3. В этом случае $Ic = 2I0 = const$ , а магнитная индукция $B0 = μ0I0n$ . При малом смещении $Δz$ кольца из положения равновесия

B2 (1 − αz0)S2 B2 α ΔzS2 2αβB2 S2 Fz = -0-------------2β − --0-------2β − mg = − -----0---Δz L L L

Таким образом, на кольцо действует квазиупругая сила, коэффициент жёсткости которой равен

2αβB20S2 2α β (μ0I0n )2S2 k = ----------= ----------------= 0,14 Н/ м L L

Частота колебаний кольца около положения равновесия равна

∘ --- f = -1- k- = 6,0 Гц. 2 π m

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#41915

В сверхпроводящем тонком кольце радиусом $R$ , индуктивностью $L$ и массой $M$ течёт наведённый ток $I0$ . Кольцо, подвешенное на тонкой неупругой нити, опускают в область горизонтального однородного магнитного поля индукцией $B$ . В устойчивом положении равновесия угол между вектором $B$ и его проекцией на плоскость кольца равен $α$ .
1) Найти зависимость угла $α$ от начального тока $I0$ в кольце и построить график $α = α(I0)$ .
2) Найти зависимость установившейся силы тока $I$ в кольце от величины начальной силы тока $I0$ и построить график $I = I(I0)$ .
3) Для случая, когда $I0 > πR2B- L$ , определить минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы вынуть кольцо из магнитного поля.
(Всеросс., 1997, финал, 11)

Показать ответ и решение

Если кольцо находится в однородном магнитном поле индукции $B$ и в кольце течет ток $I ⁄= 0$ (при $π 0 ≤ α ≤ 2$ ), то единственным положением устойчивого равновесия является положение, когда $π α = 2$ и вектор индукции собственного магнитного поля кольца в его центре направлен вдоль $B⃗$ . Пусть $α = π2$ , а в кольце течет ток $I$ таким образом, что кольцо находится в устойчивом положении равновесия.

Магнитный поток, пронизывающий сверхпроводящее кольцо сохраняется, поэтому

2 LI0 = LI + B πR

Отсюда

2 I = I0 − BπR--- L

Из условия, что $I > 0$ следует, что $I0 > BπR2- L$ . Следовательно при $I0 > B-πR2 L$ угол $α = π 2$ . При $B πR2 I0 < --L--$ устойчивого положения с током $I ⁄= 0$ нет, поэтому устойчивое положение равновесия в этом случае будет при $I = 0$ .

Пусть при $I = 0$ угол $α ⁄= π2$ . По закону сохранения магнитного потока

LI = πR2B sinα 0

Отсюда

( ) α = arcsin --LI0- πR2B

Графики зависимости $α (I0)$ и $I (I0)$ приведены на рисунках 1 и 2.

Пусть в отсутствие внешнего магнитного поля в кольце $πR2B I0 > -L---$ , а в магнитном поле сила тока в кольце $I = I − πR2B- 0 L$ . Найдем работу по удалению кольца из области однородного магнитного поля. На рисунке 3 показано произвольное положение кольца, когда его вытянули на величину $x$ .

На кольцо со стороны поля будет действовать сила Ампера

Fx = IxBlx, (1)

где $Ix$ - сила тока в кольце. По закону сохранения магнитного потока

( ) LI0 = LIx + B πR2 − Sx ,

где $Sx−$ площадь заштрихованной на рисунке области. Следовательно,

(πR2 − S )B Ix = I0 − ---------x---- (2) L

После подстановки (2) в (1) получим

[ (πR2 − S )B ] Fx = I0 − ---------x---- Blx L

Работа по удалению кольца из поля равна

∫ ∫ [ ] 2R 2R (πR2-−-Sx-)B-- A магн = Fxdx = I0 − L Blxdx = ∫ 2[ 0 0 ] ( ) πR (πR2-−--Sx)B-- 2 πR2B-- = I0 − L BdSx = πR B I0 − 2L 0

С учетом поля тяжести

( 2 ) A = Aм агн + 2M gR = πR2B I0 − πR--B- + 2M gR 2L

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#41916

Вдали от катушки с круглым цилиндрическим железным сердечником находится кольцо из сверхпроводящего материала. Ток в кольце равен нулю. На рисунке изображены линии индукции магнитного поля вблизи торца катушки; ось $z$ является осью симметрии магнитного поля катушки. Кольцо вносят в магнитное поле катушки. Сначала кольцо занимает положение 1, а затем — положение 2.
1) Определите отношение $I1∕I2$ силы тока, протекающего в кольце, когда оно находится в положении 1, к силе тока в кольце, когда оно находится в положении 2.
2) Определите соотношение сил $F1∕F2$ , действующих на кольцо в обоих положениях, и укажите направление действия этих сил.

(Всеросс., 1993, финал, 11)

Показать ответ и решение

1) При внесении кольца в магнитное поле в нем возникают две ЭДС индукции, направленные навстречу друг другу: одна ЭДС вызвана пересечением кольцом линий индукции внешнего магнитного поля, а другая - ЭДС самоиндукции, обусловленная изменяющимся во времени током, текущим по кольцу. Поскольку сопротивление кольца равно нулю, то суммарная ЭДС в кольце равна нулю.

d Φ dI ℰ = --- − L ---= 0 dt dt

Здесь $Φ$ - внешний магнитный поток, $L$ - индуктивность кольца, $I$ - сила тока в кольце.

При перемещении кольца из удаленной точки в положение 1 в кольце возникает ток $I 1$ , равный

I = Φ1-, 1 L

где $Φ1$ - магнитный поток, пронизывающий кольцо в положении 1 . Аналогично для положения 2 :

I = Φ2- 2 L

Теперь находим отношение сил токов:

I1 Φ1- I = Φ 2 2

Магнитный поток через кольцо пропорционален количеству линий индукции магнитного поля, пронизывающих кольцо. Очевидно, что это количество $N$ линий будет пропорционально квадрату числа $n$ линий, распределенных по диаметру кольца:

Φ1 ∼ n12, Φ2 ∼ n22

Из рисунка линий индукции внешнего магнитного поля найдем, что $n1 = 5$ , а $n2 =$ 9. Поэтому

( )2 I1 n1- I2 = n2 ≈ 0,35

2) Результирующая сила, действующая на кольцо, направлена вдоль оси $z$ (рис. 1). Ток в кольце течет против часовой стрелки, если смотреть на кольцо слева от него. Сила $F z$ , действующая на кольцо, пропорциональна силе тока $I$ в нем, индукции $B$ магнитного поля на окружности кольца и синусу угла $α$ между направлением вектора $⃗ B$ и осью $z$ :